鈍角三角形 鋭角三角形

• こちらで、多変数の相関係数行列を扱っている
• 相関係数行列として適当な行列とそうでない行列があるので、「適当な」とはどういうことかを考えてみる
• 多変数の変数の数がn個のとき、各変数がn次元空間上の単位ベクトルとして表せて、２変数間の相関は２変数を表すベクトルのなす角で表現するとすると、多次元単位球面に多数の点を打つという課題と考えることができる
• その線で進める
• はじめに三角不等式から
• 三角不等式というのがある
  • ユークリッド平面上に描いた三角形の３辺の長さは、どの１辺をとっても、その辺の長さは残りの2辺の長さの和以下だというもの
  • 『３』角不等式
  • 『２』次元平面
  • 『３』個の点
  • 『３』個の辺
  • 『３』個の不等式
• 球面座標での三角不等式
  • 平面は『３』次元球の表面(球面)
  • 球面は『２』次元(半径を固定すると、２つの角成分で表せる)
  • 『３』個の点
  • 『３』個の辺
  • 『３』点を通る円が描ける
    • その円の円弧と、球面座標の球弧とは異なるのが普通で、円弧は球弧より短い。円弧と球弧とが一致するのは、『３』点が同じ大円上の点であるとき
  • 『３』個の不等式(各辺の長さとその他の辺の長さの和との比較)
  • 「辺」の長さは大円の弧
  • 「辺」の長さとは、「角」のこと
  • ３点が球の１つの大円上にあるとき、『２』次元空間の球(円)に存在していて、『１』次元空間である円弧上に並んでいる
    • 「辺」の長さの和が円周になる場合と、１点が２点を結ぶ弧の内点になる場合とに分かれる
    • 両者の違いは、３点のうちの任意の１点が残りの２点の位置ベクトルの逆ベクトルが作る弧上にあるときに「辺」の長さの和が円周になり、そうでないときには、後者になる
    • この違いは、任意の「辺」の長さが、残りの『２』「辺」の長さの和より小さいかどうかという分類と同じ
    • 前者は鋭角三角形、後者は鈍角三角形、的なものに相当する
• 『４』面体不等式
  • ユークリッド『３』次元空間中に凸『４』面体を置く
  • 『４』個の点
  • 『６』個の辺
  • 『４』個の面(三角形)
  • 『４』個の面の面積の間に『４』個の不等式(各面の面積とそれ以外の面の面積の和との間の比較
• 『４』面体の「三角不等式〜４面不等式」の球面座標版
  • 『４』次元空間
  • 『４』次元球の球面
  • 球面は『３』次元
  • 『４』個の点
  • 『６』個の辺(辺は大円の弧)
  • 『４』個の面(球面三角形。その面積は、大円の弧で囲まれた立体角)
  • 『４』個の点が、４次元球の中心を通る３次元球上の点であり、かつ、４点のいずれもが、残り３点の位置ベクトルの逆ベクトルが作る球面三角形上の点であるとき、『４』面の面積(立体角)の和は単位球面の面積に等しい。これは「鋭角四面体」。そうではないときには、２面の面積の和が残りの２面の面積の和に等しい
  • いずれの場合も、任意の点の「対角」面の面積(立体角)は残りの３個の面の面積(立体角)の和以下になる
  • 『４』個の面の面積の間に『４』個の不等式(各面の面積とそれ以外の面の面積の和との間の比較)
• 一般化する
  • 『n』次元空間の『n』個の点が作る凸包では、３角形、４面体、５胞体…が、個(i=3,4,5,...)ずつあって、それぞれに不等式がある。これがn次胞体の「三角不等式」の集合(らしい)
  • それを球面座標に置き換えても同じ(だろうと思う)