2011-02-10

ローレンツアトラクタ風

３次元
回転は２つの中心の２次元球(円)への収束
２つの円の半径は同じにしてやると、中心を結ぶベクトルと中心をめぐる回転面のなす角との関係が適当だと、いわゆるローレンツアトラクタ風の絵が描ける

> p
           [,1]       [,2]     [,3]
[1,]  0.1840166 -0.2398052 0.684940
[2,] -0.3749743  1.4440024 1.824822
> Rs
[1] 0.9714508 0.9714508
> dimRots
[1] 2 2
> Rots
[[1]]
          [,1]       [,2] [,3]
[1,] 0.1328534 -0.9911357    0
[2,] 0.9911357  0.1328534    0
[3,] 0.0000000  0.0000000    1

[[2]]
          [,1]       [,2] [,3]
[1,] 0.1328534 -0.9911357    0
[2,] 0.9911357  0.1328534    0
[3,] 0.0000000  0.0000000    1

> RotsSub
[[1]]
           [,1]       [,2]       [,3]
[1,] -0.4272632  0.7044868 -0.5666961
[2,] -0.2547384 -0.6951955 -0.6721692
[3,] -0.8674990 -0.1428339  0.4764914

[[2]]
           [,1]       [,2]       [,3]
[1,] 0.46354856 -0.3160336  0.8277956
[2,] 0.02531692 -0.9291258 -0.3688962
[3,] 0.88570976  0.1919585 -0.4226939

>

library(rgl)
 NormalBase<-function(n){
I<-X<-diag(rep(1,n))

thetas<-runif(n*(n-1)/2)*2*pi
T<-matrix(0,n,n)
T[lower.tri(T)]<-thetas

for(i in 1:(n-1)){
for(j in (i+1):n){
R<-I
R[i,i]<-R[j,j]<-cos(T[j,i])
R[i,j]<-sin(T[j,i])
R[j,i]<--R[i,j]
X<-R%*%X
}
}
X
}

n<-3
np<-2

p<-matrix(rnorm(np*n),np,n)

Niter<-1000
dt<-0.01

# 回転球の半径が、点間距離の1/2よりみじかくなるようにする
# そうすると、球がつながった形に収束する
dists<-c()
for(i in 1:(np-1)){
	for(j in (i+1):np){
		dists<-c(dists,sqrt((p[i,]-p[j,])^2))
	}
}


Rs<-runif(np,min=0,max=max(dists)/2)
Rs<-runif(np,min=max(dists)/2,max=max(dists)*1)
Rs<-runif(np)
Rs[2]<-Rs[1]

# 回転は最大でn次元
dimRots<-sample(2:n,np,replace=TRUE)
#dimRots<-rep(2,np)
# 亜次元回転の方向を決める行列
RotsSub<-NULL
RotsSubInv<-NULL
Rots<-NULL
e.outs<-NULL
Rdts<-NULL

for(i in 1:np){
	RotsSub[[i]]<-NormalBase(n)
	RotsSubInv[[i]]<-solve(RotsSub[[i]])
	Rots[[i]]<-diag(rep(1,n))
	Rots[[i]][1:dimRots[i],1:dimRots[i]]<-NormalBase(dimRots[i])
	if(i==2){
		Rots[[i]]<-Rots[[1]]
	}
	e.outs[[i]]<-eigen(Rots[[i]])
	Rdts[[i]]<-(e.outs[[i]][[2]])%*%diag((e.outs[[i]][[1]])^dt)%*%solve(e.outs[[i]][[2]])
}
Nrep<-20
xssum<-NULL
col<-c()
xssum<-p 
# 集中点も描かせる
# 回転球の中心は「赤(col=2)」
col<-rep(2,np)
#k<--runif(1)*10
k2<-3
k3<-0.1 # 亜球への収束とそれ以外の次元の収束の比
fracattraction<-1
for(rep in 1:Nrep){
	xs<-matrix(0,Niter,n)
	xs[1,]<-runif(n)*10
	#xs[1,]<-apply(p,2,sum)/np + rnorm(n)*0.001
	#xs[1,]<-p[sample(1:np,1),]+rnorm(n)*0.001
	#xs[1,]<-xs[1,]/sqrt(sum(xs[1,]^2))*0.1
	for(i in 2:Niter){
		v<-rep(0,n)
		vs<-matrix(0,np,n)
		vsRot<-vs
		for(j in 1:np){
			#vs[j,]<--(xs[i-1,]-p[j,])
			# 回転亜球の回転軸に関して回して
			# そののちに回転亜球の回転をし
			# 軸に関して戻し回転をした後
			# オリジナルの点からの移動分を求める
			tmp<-xs[i-1,]-p[j,]
			tmp<-RotsSub[[j]]%*%tmp
			tmpvs<--tmp
			tmpL<-sqrt(sum(tmpvs[1:dimRots[j]]^2))
			tmpvs[1:dimRots[j]]<-(tmpL-Rs[j])/tmpL*tmpvs[1:dimRots[j]]*k3
			vs[j,]<-RotsSubInv[[j]]%*%tmpvs
			vsRot[j,]<-Re((RotsSubInv[[j]])%*%(Rdts[[j]]%*%(tmp)))-(xs[i-1,]-p[j,])			
		}
		# 各中心までの距離
		tmpl<-sqrt(apply(vs^2,1,sum))
		# 各中心までの距離が「与えられた半径」とどれくらい違うか
		#tmpl<-tmpl-Rs
		# 各球の表面からへと近づくが
		# 遠いと速く、近いとゆっくりと近づき、離れない
		stvs<-matrix(0,np,n)
		if(prod(tmpl)!=0){
			stvs<-sign(tmpl)*vs/tmpl^k2
		}	
		
		tmpv<-apply(stvs,2,sum)
		tmpv<-tmpv/sqrt(sum(tmpv^2))

		v<-fracattraction*tmpv*(cumprod(tmpl)[length(tmpl)])*dt
		# 球表面に近いとその球面の回転成分が大きくなる
		vsRot<-vsRot/tmpl
		tmpvRot<-apply(vsRot,2,sum)
		v<-v+tmpvRot
#v<-tmpv*(cumprod(tmpl)[length(tmpl)])^k
		xs[i,]<-xs[i-1,]+v
	}
	
	xssum<-rbind(xssum,xs)
	col<-c(col,rep(rep,Niter))
}
cex<-rep(0.1,length(col))
cex[1:Nrep]<-3
plot3d(xssum[,1],xssum[,2],xssum[,3],col=col)

filename<-"attractor"
M <- par3d("userMatrix")
play3d( par3dinterp( userMatrix=list(M,
                                     rotate3d(M, pi/2, 1, 0, 0),
                                     rotate3d(M, pi/2, 0, 1, 0) ) ), 
        duration=4 )