2011-02-15
時間遅れ座標系によるアトラクタ再構成

時系列データでアトラクタが再構成できるのは、曲線における、Moving frameが時間遅れデータから作られることと、ある意味同じこと
こちらの実例
まず、多変量時系列データを作り(こちらのデータ作成法)、そこから、１変量を選んで、sikpT飛ばしのJOk次元時間遅れ座標系データを作って、それをプロットしている
# nc-1 正単体(nc個の頂点)の頂点ベクトルを作る
CategoryVector<-
function (nc = 3) 
{
    df <- nc - 1
    d <- df + 1
    diagval <- 1:d
    diagval <- sqrt((df + 1)/df) * sqrt((df - diagval + 1)/(df - 
        diagval + 2))
    others <- -diagval/(df - (0:(d - 1)))
    m <- matrix(rep(others, df + 1), nrow = df + 1, byrow = TRUE)
    diag(m) <- diagval
    m[upper.tri(m)] <- 0
    as.matrix(m[, 1:df])
}
# 無限遠をMaxXに縮めるときに距離Rをいくつに縮めるか
TangentDist<-function(R,MaxX){
	tmax<-atan(MaxX)
	tan(atan(R)/(pi/2)*tmax)
}
# n+1個の値のうち、一番小さい値とそのベクトルＩＤを出す
minind<-function(x){
	which(x==min(x))[1]
}
minindval<-function(x){
	list(ind=minind(x),v=min(x))
}

Sphere2Simplex<-function(x){
	if(!is.matrix(x)){
		x<-matrix(x,nr=1)
	}
	n<-length(x[1,])
	# n単体のn+1 個の頂点座標
	cv<-CategoryVector(n+1)
	# n+1個の頂点ベクトルへの射影の長さ
	X<-x%*%t(cv)
	# ベクトルxがどの頂点ベクトルに対してその射影を最短とするかを調べる
	# その頂点ベクトル以外の頂点が作る「n-1次元面」をxベクトルは通過する
	MinIndVal<-matrix(unlist(apply(X,1,minindval)),ncol=2,byrow=TRUE)
	# xのノルム
	r<-sqrt(apply(x^2,1,sum))
	# 無限遠を1/nに縮めるときにノルムrの点はどのくらいのノルムに縮めるか
	tmpr<-TangentDist(r,1)
	# 最長の縮み位置に対するtmprの比率
	tmpRatio<-tmpr/(1/(n))
	# 1乗から2乗の間の何乗にするか
	tmpk<-1+tmpRatio
	# 最終的に何倍に縮めるか
	ratio<-(tmpr^2/apply(abs(x)^tmpk,1,sum))^(1/tmpk)
	x*ratio
}

xs<-matrix(0,100,3)
xs[1,]<-c(0,0,1)
for(i in 2:100){
	xs[i,]<-xs[i-1,]*1.1
}
xsc<-Sphere2Simplex(xs)

plot(xsc[,1])


library(rgl)
 NormalBase<-function(n){
I<-X<-diag(rep(1,n))

thetas<-runif(n*(n-1)/2)*2*pi
T<-matrix(0,n,n)
T[lower.tri(T)]<-thetas

for(i in 1:(n-1)){
for(j in (i+1):n){
R<-I
R[i,i]<-R[j,j]<-cos(T[j,i])
R[i,j]<-sin(T[j,i])
R[j,i]<--R[i,j]
X<-R%*%X
}
}
X
}

n<-3
np<-2

p<-matrix(rnorm(np*n),np,n)

Niter<-1000
dt<-0.01

# 回転球の半径が、点間距離の1/2よりみじかくなるようにする
# そうすると、球がつながった形に収束する
dists<-c()
for(i in 1:(np-1)){
	for(j in (i+1):np){
		dists<-c(dists,sqrt((p[i,]-p[j,])^2))
	}
}


Rs<-runif(np,min=0,max=max(dists)/2)
#Rs<-runif(np,min=max(dists)/2,max=max(dists)*5)

# 回転は最大でn次元
dimRots<-sample(2:n,np,replace=TRUE)
#dimRots<-rep(2,np)
# 亜次元回転の方向を決める行列
RotsSub<-NULL
RotsSubInv<-NULL
Rots<-NULL
e.outs<-NULL
Rdts<-NULL

for(i in 1:np){
	RotsSub[[i]]<-NormalBase(n)
	RotsSubInv[[i]]<-solve(RotsSub[[i]])
	Rots[[i]]<-diag(rep(1,n))
	Rots[[i]][1:dimRots[i],1:dimRots[i]]<-NormalBase(dimRots[i])
	
	e.outs[[i]]<-eigen(Rots[[i]])
	Rdts[[i]]<-(e.outs[[i]][[2]])%*%diag((e.outs[[i]][[1]])^dt)%*%solve(e.outs[[i]][[2]])
}
Nrep<-1
xssum<-NULL
col<-c()
xssum<-p 
# 集中点も描かせる
# 回転球の中心は「赤(col=2)」
col<-rep(2,np)
#k<--runif(1)*10
k2<-3
fracattraction<-0
for(rep in 1:Nrep){
	xs<-matrix(0,Niter,n)
	xs[1,]<-rnorm(n)
	#xs[1,]<-apply(p,2,sum)/np + rnorm(n)*0.001
	#xs[1,]<-p[sample(1:np,1),]+rnorm(n)*0.001
	#xs[1,]<-xs[1,]/sqrt(sum(xs[1,]^2))*0.1
	for(i in 2:Niter){
		v<-rep(0,n)
		vs<-matrix(0,np,n)
		vsRot<-vs
		for(j in 1:np){
			#vs[j,]<--(xs[i-1,]-p[j,])
			# 回転亜球の回転軸に関して回して
			# そののちに回転亜球の回転をし
			# 軸に関して戻し回転をした後
			# オリジナルの点からの移動分を求める
			tmp<-xs[i-1,]-p[j,]
			tmp<-RotsSub[[j]]%*%tmp
			tmpvs<--tmp
			tmpL<-sqrt(sum(tmpvs[1:dimRots[j]]^2))
			tmpvs[1:dimRots[j]]<-(tmpL-Rs[j])/tmpL*tmpvs[1:dimRots[j]]
			vs[j,]<-RotsSubInv[[j]]%*%tmpvs
			vsRot[j,]<-Re((RotsSubInv[[j]])%*%(Rdts[[j]]%*%(tmp)))-(xs[i-1,]-p[j,])			
		}
		# 各中心までの距離
		tmpl<-sqrt(apply(vs^2,1,sum))
		# 各中心までの距離が「与えられた半径」とどれくらい違うか
		#tmpl<-tmpl-Rs
		# 各球の表面からへと近づくが
		# 遠いと速く、近いとゆっくりと近づき、離れない
		stvs<-sign(tmpl)*vs/tmpl^k2
		tmpv<-apply(stvs,2,sum)
		tmpv<-tmpv/sqrt(sum(tmpv^2))

		v<-fracattraction*tmpv*(cumprod(tmpl)[length(tmpl)])*dt
		# 球表面に近いとその球面の回転成分が大きくなる
		vsRot<-vsRot/tmpl
		tmpvRot<-apply(vsRot,2,sum)
		v<-v+tmpvRot
#v<-tmpv*(cumprod(tmpl)[length(tmpl)])^k
		xs[i,]<-xs[i-1,]+v
	}
	
	xssum<-rbind(xssum,xs)
	col<-c(col,rep(rep,Niter))
}
cex<-rep(0.1,length(col))
cex[1:Nrep]<-3
plot3d(xssum[,1],xssum[,2],xssum[,3],col=col)

filename<-"attractor"
M <- par3d("userMatrix")
play3d( par3dinterp( userMatrix=list(M,
                                     rotate3d(M, pi/2, 1, 0, 0),
                                     rotate3d(M, pi/2, 0, 1, 0) ) ), 
        duration=4 )
        
        
        
        
        
        
SimplexXs<-Sphere2Simplex(xssum)
# 正単体は中心が原点なので、全体に(1/(n-1),1/(n-1),...,1/(n-1))だけ平行移動する
SimplexXs<-SimplexXs+1/(n-1)

plot3d(SimplexXs[,1],SimplexXs[,2],SimplexXs[,3],col=col)

JOk<-3 # 時間遅れ次元
skipT<-4 # タイムラグ
tmpn<-length(SimplexXs[,1])+1-((JOk-1)*(skipT+1))
JOM<-matrix(0,tmpn,JOk)
cn<-1
for(i in 1:JOk){
	tmp<-(i-1)*skipT+1
	JOM[,i]<-	SimplexXs[tmp:(tmpn+tmp-1),cn]
}

plot3d(JOM[,1],JOM[,2],JOM[,3])

vvv<-0.5

yy<-SimplexXs+matrix(rnorm(length(SimplexXs),sd=sqrt(var(c(SimplexXs)))*vvv),ncol=length(SimplexXs[1,]))

zz<-yy
for(i in 1:length(yy[1,])){
	zz[,i]<-filter(yy[,i],rep(1,10)/10)
}
plot3d(yy[,1],yy[,2],yy[,3])
plot3d(zz[,1],zz[,2],zz[,3])

par(mfcol=c(1,3))

matplot(SimplexXs,ylim=c(min(SimplexXs),max(SimplexXs)))

matplot(yy,ylim=c(min(SimplexXs),max(SimplexXs)))

matplot(zz,ylim=c(min(SimplexXs),max(SimplexXs)))
#matplot(zz)

par(mfcol=c(1,1))