総集編３ - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

式など
「点」
- $P(X=1)=p,P(X=0)=1-p)$
「複数の点」
- $P(X_i=1)=p,P(X_i=0)=1-p$
- $P(\sum_{i=1}^n X_i = k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k (1-p)^{n-k}$ (二項分布)
「複数の点」が「列」を成す
- $P(X_i=1)=p,P(X_i=0)=1-p$
- n連続点でk回生起する確率は $P(\sum_{i=1}^n X_i = k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k (1-p)^{n-k}$
- 最近接点間距離 $L_1$ , $P(L_1=k)=(1-p)^{k-1}p$ (幾何分布)
- i-th近接点間距離 $L_i$ , $(P(L_i=k)=\begin{pmatrix}{k-1\\i-1\end{pmatrix}p^i(1-p)^{k-i}$ (負の二項分布)
「１次元空間」
- ハザード関数 $h(t)=\lambda$
- 生起回数は、「世界」を無限に小さくn等分し、そのうちのk箇所に生起することを極限として求める
  - $P(N=k)=\frac{e^\lambda \lambda^k}{k!}=\lim_{n\to \infty}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} p^k (1-p)^(n-k);p=\frac{\lambda}{n}$ （こちらより)
- 最近接点間距離 $P(L_1=t)=\lambda e^{-\lambda t}$
- i-th近接点間距離 $P(L_i=t)=\frac{t^{i-1}\lambda^{i}e^{-\lambda t}}{\Gamma(i)}$
- 累積分布関数[tex:P(L_1
「n次元空間」
- 最近接点間距離の累積分布関数は、「１次元空間」のそれが[tex:P(L_1
- これに対応する最近接点間距離の確率密度分布は $P(L_1=t)=\lambda n (t \lambda)^{n-1} e^{-(\lambda t)^n}$ (ワイブル分布)
「１次元(時間)」に「n次元空間」をおしこめる
- 上記の「n次元空間」での最近接点間距離の確率密度関数と累積分布関数から、ハザード関数を作ると[tex:h(t)=\frac{P(L_1=t)}{1-P(L_1
- したがって、「１次元(時間)」に関して、このように変化するハザード関数を持つような現象の最近接点間距離の分布はワイブル分布であることがわかる
- これは、時間経過とともに生起確率が増えるような現象に関する生起間隔の分布(老朽化による故障頻度の増加など)
- また、複数の要因があり、その要因の「壊れやすさ」がこのようなハザード関数になるときの「最弱リンクモデル」での「機械全体の壊れやすさ」に関する分布でもある
同様にグンベル分布は、 $g(x)$ が指数関数になったものである
ワイブル分布もグンベル分布も、極値分布の１型であるが、極値分布は、ある分布に従う複数のサンプルがある値より大きくなる(小さくなる)個数の確率密度分布となっている(極値分布Wiki)
- 参考(こちら)やこちら(ただし最後の小節のｐn〜exp{ｰp^n}はおそらく誤植)