駆け足で読む『群と表現』連続群とリー代数
- 6. 連続群とリー代数
- 連続パラメタを持つのが連続群
- 連続群の中でパラメタ変換が解析的関数で表されるのがリー群
- リー群の解析を行うのがリー代数
- 解析的関数なので、連続とか、無限小とかが出てくるし、実数か複素数か、とかが出てくる
- リー群は色々あって、次元を持っている。リー群にはそれぞれに元(の集合)があり、リー代数が対応する
- リー群・リー代数に関しては、書き方の異なる説明を並べると見通しよくなりそうなので、並べる
- 有限群の表現で、群の元に行列という姿を与えた
- 行列の性質が、群の性質をとらえるのに有用だった
- 連続群でも、行列という姿を与える
- 連続群では、元がパラメタによって姿を変える。その数は無限
- たとえば、正n角形の頂点をぐるりと回っていくような群では、
ずつ回せばよいところ、連続な回転を表す回転群では、0から
までのすべての角に対応する元があり、また、元に対応する変換を蓄積する(積分)ことで、合成角に対応する元となるようなルールが必要となる
- このような性質を実現するときに、「微小変化」に対応しつつ、連続変化の全体に対応する仕組みとして、級数展開を使うのは、いわゆる関数と同じ。その延長線上として、元に指数関数を取り込んだ扱いが入ってくる
- 変換を組み合わせる・連続して変換する、というときに、結合したり、順序を入れ替えたり、ということが問題になるが、その演算のルールが、「姿」としての「行列」の演算ルールとして見えてくるようになっている
- 変換を組み合わせる・連続して行うときの、元同士の関係は、群の本質的なことであることも、示される
- さらに、分解とか直和とか、行列の特徴・線形代数的特徴で、群に複雑さを増やすことができるのは、連続群に限らず、群全体に言えることだが、そのやり方をうまくするために、連続群は、扱いが単純な部品に分解する。そして、部品の性質と、部品を組み合わせることの性質とに分けて全体を取り扱う
