2012-05-25

Statistical Methods in Bioinformatics

教科書

こちら
そのAppendixの構成がいい
英単語の復習の意味も込めて
Appendix B Mathematical Formulae and Results
- B.1 Numbers and Intervals (数と区間)
  - Real numbers 実数
  - Integers 整数
    - Positive integers, Natural numbers 自然数
    - Non-negative integers 非負整数(0,1,2,...)
  - Rational numbers 有理数とIrrational numbers 無理数
  - Open intervals $(a,b); a< x < b$ 開区間
  - Closed intervals $[a,b]; a \le x \le b$ 閉区間
  - Half-open intervals $(a,b]; a < x \le b$ , $[a,b); a \le x < b$ ２つの半開区間
- B.2 Sets and Set Notation 集合と集合の記法
  - n-dimensional space,n次元空間
  - tuple (double, triple, ..., n-tuple) $(x_1,x_2,...,x_n)$ タプル(値の組)
  - $s \in S$ 集合 $S$ の要素 $s$
  - Union $S_1 \cup S_2$ 和集合/結び
  - Intersection $S_1 \cap S_2$ 積集合/交わり
  - Subset $S_1 \subset S$ 部分集合
  - Cartesian product $S_1 \times S_2$ デカルト積/直積
- B.3 Factorials 階乗
  - $n! = n(n-1)(n-2)\dots 3 2 1$
  - $0! = 1$
- B.4 Binomial Coefficients 二項係数
  - $\begin{pmatrix} r\\k\end{pmatrix} =\frac{r!}{k!(r-k)!}$
- B.5 The Binomial Theorem 二項定理
  - - 特に $(x+1)^n = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} x^k$
- B.6 Permutations and Combinations 順列と組合せ
  - $_n P_k = \frac{n!}{(n-k)!}$
  - $_n C_k = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{_n P_k}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
- B.7 Limits 極限
  - Discrete and continuous limits 離散的/連続的極限
  - Sequence $a_1,a_2,...,a_n,...$ , $\lim_{n \to \infty} a_n$ (離散的)数列とその極限
  - $\lim_{n\to \infty} (1+\frac{t}{n}) = e^t$ は例
  - $\lim_{x \to 0+} x \log x$ 右から0への極限
- B.8 Asymptotics 漸近解析
  - (1a) $f = \mathcal{O}(g)$ at $\infty$ if there are constants $C, K \ge 0$ such that $\frac{f(t)}{g(t)} \le C$ for all $t>K$ "f is big oh of g as t approaches $\infty$ "
  - (1b) $f = \mathcal{O}(g)$ at $a, a<\infty$ if there are constants $C, h \ge 0$ such that $\frac{f(t)}{g(t)} \le C$ for all [tex:|t-a|
  - (2) $f=\mathcal{o}(g)$ at $a$ if $\lim_{t\to a} \frac{f(t)}{g(t)} =0$ "f is little oh of g as t approaches a"
  - (3) $f\sim g$ at $a$ if $\lim_{t\to a} \frac{f(t)}{g(t)}=1$ "f is asymptotic to g as t approaches a"
  - (4) $f \Omega g$ at $a$ if $f=\mathcal{O}(g)$ and $g=\mathcal{O} (f)$ at $a$ "f is omega of g as t approaches a"
  - (5) $f \approx g$ at a if $\lim_{t \to a} (f(t)-g(t)) = 0$
  - 漸近的に「多項式関数」なのか「対数関数」なのか「指数関数」なのかが大事
- B.9 Stirling's Approximation スターリングの近似
  - $n! \sim \sqrt{2\pi} n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}$
  - $\begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix} \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{k(n-k)}} (\frac{k}{n})^{-k} (1-\frac{k}{n})^{-(n-k)}$
- B.10 Entropy as Information エントロピーという情報
  - ○か×かの質問によって、絞り込むことを考えると、たくさんの可能性があるときには、可能性の場合の数を２を底とする対数で表した値が、必要な絞り込み回数に相当する
  - このように底を２とした値には情報的な意味がある
- B.11 Infinite Series 無限級数
  - $\sum_{k=m}^{\infty} a_k$ が converge 収束するならば、 $\lim_{k\to \infty} a_k=0$
  - diverge 発散する
  - $\lim_{n\to \infty} (\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\log n)$ はオイラー定数 $\gamma$ に収束する。極値分布に登場する
  - $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \approx \log n + \gamma$
  - Harmonic series $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}$ 調和級数。pが偶数の場合には、調和級数の和には $\pi$ が登場する
  - Geometric series $\sum_{k=m}^{\infty} r^k=\frac{r^m}{1-r}$ 幾何級数/等比級数
- B.12 Taylor Series テイラー級数
  - Analytic functions は無限回微分可能
  - - $f^{'}(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}kx^{k-1}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{(k-1)!}x^{k-1}$
  - - $e^x = \cong 1+x$ または $e^x \cong 1 + x + \frac{1}{2}x^2$
  - $\log(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k}$
  - $(1+x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty}\begin{pmatrix} \alpha\\k \end{pmatrix} x^k$
  - $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$
- B.13 Uniqueness of Taylor Series テイラー級数の一意性
- B.14 Laurent Series ローラン級数
  - テイラー級数を一般化したもの
  - - $\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k x^k$
- B.15 Numerical Solutions of Equations 方程式の数値解法
  - $x_1 \cong a-\frac{f(a)}[f^{'}(a)}$
- B.16 Statistical Differentials 統計量の差分(?)
- B.17 Gamma Function ガンマ関数
  - $\Gamma(u) = \int_0^{\infty} e^{-t}t^{u-1}dt$
  - $\Gamma(u+1) = u \Gamma(u)$
  - $\Gamma(1) =1$
  - $\Gamma(n) = (n-1)!$
  - $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$
  - $(\frac{d \Gamma(u)}{du})_{i=1} = - \gamma$ オイラー定数
  - $(\frac{d^2 \log \Gamma(u))}{du^2})_{u=1} = \frac{\pi^2}{6}$
- B.18 Proof by Induction 帰納法による証明
- B.19 Linear Algebra and Matrices 線形代数と行列
  - Eigenvalues 固有値
  - Eigenvectors 固有ベクトル
Appendix C Computational Aspects of the Binomial and Generalized Geometric Distribution Functions
Appendix D BLAST: Sum of Normalized Scores