独立な確率変数の和の分散

  • 2つの独立な確率変数の和を考えるとき、期待値も和、分散も和(こちら)
  • 2つの独立なガンマ分布の和の期待値と分散を考えよう
  • \Gamma(\theta_1,k_1)
  • \Gamma(\theta_2,k-2)
  • ガンマ分布の期待値と分散は\theta k, \theta^2 kだから
  • 2つのガンマ分布の和\Gamma(\theta',k')については
    • \theta' k' = \theta_1 k_1 + \theta_2 k_2
    • (\theta')^2 k' = (\theta_1)^2 k_1 + (\theta_2)^2 k_2が成り立つから
    • \theta' = \frac{(\theta_1)^2 k_1 + (\theta_2)^2 k_2}{\theta_1 k_1 + \theta_2 k_2}
    • k' = \frac{(\theta_1 k_1 + \theta_2 k_2)^2}{(\theta_1)^2 k_1 + (\theta_2)^2 k_2}
  • Rで確かめてみる
t1 <- runif(1) * 5
t2 <- runif(1) * 5
k1 <- runif(1) * 5
k2 <- runif(1) * 5
n.pt <- 100000
X1 <- rgamma(n.pt, shape = k1, scale = t1)
X2 <- rgamma(n.pt, shape = k2, scale = t2)
X.sum <- X1 + X2

t.sum <- (k1*t1^2+k2*t2^2)/(k1*t1+k2*t2)
k.sum <- (k1*t1+k2*t2)^2/(k1*t1^2+k2*t2^2)

X.sum.2 <- rgamma(n.pt,shape = k.sum, scale = t.sum)

xlim <- ylim <- range(c(X.sum,X.sum.2))
plot(sort(X.sum),sort(X.sum.2),xlim=xlim,ylim=ylim)
abline(0,1)