ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

2013-09-06

仮説亜空間の次元

決断診断ベイジアンネットワークベータ分布ロジスティック回帰射影多様体微分幾何カルマンフィルタ

前の記事の課題を一般性を持たせて書いておこう
今、 $n$ 個の仮説があって、それに対応して、空間 $\Omega$ に定義された $n$ 個の確率密度分布 $P_i(\mathbf{x} \in \Omega);i=1,2,...,n$ がある
事前確率として、 $\pi_i;\sum_{i=1}^n \pi_i=1$ が想定されているとき、事前確率密度分布は $\sum_{i=1}^n u_i P_i(\mathbf{x} \in \Omega)$ 、ただし、 $\int_{\mathbf{x} \in \Omega} u_i P_i(\mathbf{x} \in \Omega) d\mathbf{x} =\pi_i$ と表される。
ここでデータ・エビデンスがもたらされたとする
各仮説の確率密度が変化するとともに、各仮説全体の事後確率も変化する
- $P(\mathbf{x} \in \Omega) \to P'(\mathbf{x} \in \Omega)$
- $\pi_i \to \pi_i'$
全体としての事後確率密度分布は
- $\sum_{i=1}^n u'_i P'_i(\mathbf{x} \in \Omega)$ 、ただし、 $\int_{\mathbf{x} \in \Omega} u_i' P'_i(\mathbf{x} \in \Omega) d\mathbf{x} =\pi_i'$ である
今、 $S_i = \{\mathbf{x}|P(\mathbf{x} >0)\}$ であるような $S_i \subset \Omega$ のうち、もっとも小さいものを $S_i_{m}$ とする
また、 $\Omega,S_i$ に次元という概念があるとして、それを $dim(\Omega),dim(S_i)$ と表すことにする
このとき、前の記事の問題は $dim(S_i) < dim(\Omega)$ のときに、工夫がいる、という話である、と書くことができる

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