ウィーナー過程の事後分布

• １次元空間をウィーナー過程で進んでいるとする。任意の２時刻s tをとると、位置座標の差は平均0、分散t-sの正規分布に従うのがウィーナー過程
• 今、２時刻s,tでXs,Xtに観測されたとすれば、ある時刻u (s<=u<=t)での位置Xsは、(s,Xs)からウィーナー過程で(u,Xu)にたどり着く確率(それは、平均0、分散u-sの正規分布が、Xu-Xsとなる確率である)であって、かつ、(u,Xu)からウィーナー過程で(t,Xt)にたどり着く確率(それは、平均0、分散t-uの正規分布が、Xt-Xuとなる確率である)から、その尤度を相対値で計算するには

X <- c(0,0)
Y <- c(1,1)

x <- seq(from=0,to=1,length=100)
x <- x[-c(1,100)]
y <- seq(from=-1,to=2,length=100)
Z <- as.matrix(expand.grid(x,y))

Z.x1 <- X[1]-Z[,1]
Z.x2 <- Y[1]-Z[,1]
Z.y1 <- X[2]-Z[,2]
Z.y2 <- Y[2]-Z[,2]

log.p1 <- -Z.y1^2/(2*abs(Z.x1))
log.p2 <- -Z.y2^2/(2*abs(Z.x2))
log.p12 <- log.p1+log.p2

log.p12 <- log.p12-mean(log.p12)
p12 <- exp(log.p12)
image(x,y,matrix(p12,length(x),length(y)))
#points(X[1],X[2],pch=20)
#points(Y[1],Y[2],pch=20)