Introduction ぱらぱらめくる『Quaternion Fourier Transforms for Signal and Image Processing』

以前からあるフーリエ変換と四元数を合わせた手法
フーリエ
- フーリエ級数は連続周期関数を三角関数の和として表す
- フーリエ積分・フーリエ変換は(必ずしも周期性ではない)時間に関する連続関数を周波数の関数に変換したりその逆をしたりする
- 離散フーリエ変換は離散時刻観測シグナルを周波数別の三角関数で表す
- 複素数の指数関数(〜三角関数)
- 時間と周波数との二軸で考えることを特徴とし、時間に関して無限、周波数に関して固定、を前提とするが、必ずしもそのやり方がふさわしいデータばかりではないため、Time-Frequency analyisis, ガボールフィルタによるウェーブレット変換とか、変法が存在する
四元数
- 複素数が虚・実の２次元であるところ、四元数は、実ｘ１、虚ｘ３のトータルで４次元。それを実１スカラー値と、虚３空間時間とすることもある
- 四元数が持つ代数の特徴：Hypercomplex algebra
  - normed division algebra：２つの四元数の積のノルムがそれぞれのノルムの積になる
  - Multiplicative inverse : 逆元が複数存在する( $\sqrt{-1}=i,j,k$ とか)
四元数のフーリエ変換
- ３次元空間座標に１次元の時間・周波数情報を乗せるために四元数の４次元を使う
- 同次座標を使って３次元空間の扱いをうまいことする
- ３次元に限らず高次元にする方法に、クリフォードフーリエ変換がある(こちら)
シグナル解析・画像解析
- シグナル・画像⇔周波数、がフーリエ変換
- 復元可能な変換と逆変換
- 途中で操作をすれば、変換→操作→逆変換によって、シグナル・画像の改変が可能(ノイズ除去とか)
- ３次元空間・３原色、という３要素
- 複数要素に対してそれぞれの軸・次元を取り、それらのMarginal(周辺)について１次元(フーリエ)スペクトル化処理をするのもありだが、３要素を「総合的」に扱う方がよいこともある
- 時間次元と空間次元を分離したい、ということも多く、Marginal扱いにする場合には、軸の質的区別をする必要が出るが、四元数の４次元＝１＋３次元はその点にも都合がよい
Hypercomplex algebras
- 四元数の代数以外にHypercomplex algebrasがあり、それらにても同様の高次元・複雑なデータ状況を扱う可能性はある。四元数代数はクリフォード代数の一つである(次元、その基本基底から発生するべき集合的基底、内積の定義、などで決まる代数)
- それらの中での四元数代数の特徴
  - 複数の逆元を持つ
  - Normed algebraである( $||pq|| = ||p|| \times ||q||$ )
  - Idempotent, Nilpotentを持たない(他のHypercomplex algebrasは持つ(らしい))：Idempotentとは $q^2=q$ 、Nilpotentとは $q^2=0$ のこと。四元数代数は、1,0以外にこれらを持たない
- その他の特徴。non-commutative( $pq \ne qp$ )(commutativeなhypercomplex algebrasはdivisors of zeroを持つことが必然らしいが、それと比べればnon-commutativeはましな欠点らしい…)。non-commutativeは行列の積などで慣れてもいるし
応用について
- 実装・ソフトウェア・アプリ
  - 1,i,j,kを作ってそれの演算規則を実装する方法
    - MATLABのC,C++
    - Quaternion library(Boost library)などを使ってC++で実装することもできる
  - 四元数の行列表現で実装する方法
    - Hypercomplex algebrasは行列表現があるので、四元数でもそれを使う手がある
    - 計算が1,i,j,kによる直接実装より重い(計算不要な四則演算がたくさん発生するから)