私のための量子力学メモ

• こちらで量子力学・行列力学・作用素環についてメモしている
• 自分のための量子力学としては、確率事象空間における離散性の扱いと量子力学との関係が大事
• 波動方程式という確率密度分布の時間変化情報
  • 自由粒子というものがある。無限空間に「粒子」があり、その運動量は一定だと言う。その粒子の確率密度分布は、と表されると言う。これは、無限空間のどの点xを取っても、そこに存在する確率がと一定であるような分布、無限空間一様分布なのだと言う
  • この自由粒子はどんな動き(そもそも動いているのか？)をしているのか知らないけれど、あえて言えば、「位置の期待値(繰り返して観察したときの平均値のような)」があり、「運動量の期待値」もあるという。位置の期待値は原点で運動量の期待値は全方向について平等〜平均を取れば速度が0になる。速度の絶対値について分布を取ればそれは0ではなかろう。その「ある程度の正の値」がどんな分布になるかと言えば…無限遠もあるので…
  • 今、ある粒子が確率密度分布を持って分布しているとする。その位置と運動量に興味があって、観測をする(観測を繰り返す)とする。観測前は、「自由粒子と同じ」無限範囲の一様分布だろう。そこに観測が加わると、事後分布ができる。観測を繰り返すとする。位置はどんどん正確にできる(が完全に正確にはならない)が、自由粒子の場合は、一様分布だから、どんなに繰り返しても、どこにも等確率で存在する、という答えが得られるだけ
• 不確定性原理
  • 「誤差」は0にならない。
  • これは、観測値と期待値(隠れた真の値)とを比べた時に、観測を繰り返してその平均は期待値に収束するけれど、観測値と期待値の差の二乗は0なわけではない。「観測対象が持つ確率分布の分散」の分だけ曖昧だ、ということらしい
  • そして、この曖昧〜分散が、「位置と運動量とで相互にあっちを立てればこっちが立たずの関係にある」というのがということらしい
  • さらにそして、そのことと、行列の積が非可換であることとつながっているという
• 離散
  • 波動方程式を満足する関数を考えていくと、空間座標に依存するポテンシャル項の様子によったりすることで、エネルギー値として離散値しかとれない場合などが出てくる。これが「離散」の出所
  • いろいろなエネルギー値(離散かもしれないし、連続かもしれないが)には、そのエネルギー値に応じた関数が得られる。それらの線形和を「解」とする。その意味は、線形和の係数が、「その要素の存在確率」に相当する、ということ
  • この「エネルギーの離散性」が「弦の振動」「原子殻のエネルギー準位」とかをもたらす
• 無限次元状態ベクトル
  • 関数をフーリエ変換で扱うと、無限個の三角関数の和として表せる。個々の三角関数に付与する係数を要素とするベクトルを考えれば、状態は無限次元ベクトルだということになる
  • この無限次元ベクトルとそれに作用する行列で考えるのが行列力学的な考え方であって、その代数的解釈が作用素環(らしい)