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title: "Calculus1 Expected value and basics of differentiation and integration"
author: "ryamada"
date: "2017年1月22日"
output:
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toc_depth: 6
number_section: true
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```{r setup, include=FALSE}
library(knitr)
opts_chunk$set(echo = TRUE)
library(rgl)
knit_hooks$set(rgl = hook_webgl)
```
$$
m = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i
$$
```{r}
n <- 10
x <- sample(1:3,n,replace=TRUE)
x
mean(x)
1/n * sum(x)
```
$$
m_w = \sum_{j=1}^k v_j \times Pr(j)
$$
```{r}
x
tabulate(x)
w <- tabulate(x)/n
w
v <- sort(unique(x))
v
mw <- sum(v * w)
mw
```
```{r}
v <- 1:6
p <- rep(1/6,6)
sum(v*p)
```
出来の悪いサイコロの期待値 Dice in bad condition
```{r}
v <- 1:6
p <- rep(1/6,6) + rnorm(6) * 0.1
p <- p/sum(p)
plot(v,p,type="h")
p
sum(p)
sum(v*p)
```
$$
(p + (1-p)) ^n = 1^n = 1 = \sum_{i=0}^n \begin{pmatrix}n\\i \end{pmatrix} p^i (1-p)^i
$$
```{r}
p0 <- 0.3
n <- 10
i <- 0:n
i.inv <- i[(n+1):1]
choose(n,i)
p <- choose(n,i) * p0^i * (1-p0)^i.inv
plot(i,p,type="h")
sum(p)
sum(p*i)
n * p0
```
成功・失敗が、n回とm回だったとき、成功率がpである尤度は n successes and m failures. Likelihood of success rate p is proportional to ;
$$
p^n (1-p)^m
$$
に比例する。
With $h(n,m)$ below,
$$
h(n,m)=\int_0^1 p^n(1-p)^m dp
$$
とおけば、the following equaion follows;
$$
\int_0^1 \frac{1}{h(n,m)}p^n (1-p)^m dp =1
$$
となるから
The following is the likelihood function of success rate p when n successes and m failures.
$$
\frac{1}{h(n,m)}p^n (1-p)^m
$$
が成功n回、失敗m回のときの成功率pの尤度関数。
$p^n(1-p)^m$が関数の形を決め、$h(n,m)$は積分が1となるように正規化しているので、$h(n,m)$によって(尤度)関数を正規化する、と言う。
$p^n (1-p)^m$ determines its shape and $h(n,m)$ normalizes its integration to 1.
$$
h(1,0) = \int_0^1 p dp
$$
```{r}
p <- seq(from=0,to=1,length=100)
h <- p
plot(p,h,type="l")
```
$h(1,0)$は面積として計算できる。 Area of $h(1,0)$ is given geometrically.
$$
\frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}
$$
積分するなら Integration;
$$
\frac{d}{dx} x^2 = 2x\\
\frac{d}{dx} \frac{1}{2} x^2 = x
$$
を使って、
$$
x^2 + C = \int 2x dx\\
\frac{1}{2} (x^2+C) = \int x dx
$$
から、
$$
\int_0^1 p dp = [\frac{1}{2} x^2]^1_0 = \frac{1}{2} (1^2-0^2)=\frac{1}{2}
$$
となる。
結局、n=1,m=0のときの尤度関数は The likelihood function when n=1 and m=0;
$$
\frac{1}{h(1,0)}p^1 (1-p)^0 = \frac{1}{\frac{1}{2}}p = 2p
$$
n=1, m=1の場合、二項観察の尤度関数は Likelihood function for binomial observation n=1 and m=1
$$
\frac{1}{h(1,1)} p(1-p) = \frac{1}{h(1,1)}(p-p^2)
$$
$$
h(1,1) = \int_0^1 p-p^2 dp
$$
を求めたい。
$f(x) = x^1 (1-x)^1$ のグラフを描け。Draw $f(x) = x^1(1-x)^1$.
[0,1]区間を、k等分してその小区間ごとの面積を近似的に計算し、その和を[0,1]の範囲の$p-p^2$の面積とみなすこととする。
第i小区間の面積を、長方形の面積とみなして、計算し、kを、1,2,...,100と変化させ、その様子をプロットせよ。ただし、長方形は幅$\frac{1}{k}$、高さはその小区間の両端の$p-p^2$の値の平均値とせよ。
Divide the interval [0,1] into k evenly. Calculate subintervals' area approximately and sum them which is approcimation of the area under the curve.
The area of the i-th subinterval should be considered a rectangle whose width is $/frac{1}{k}$ and its hight is the average of the hights of the both ends of the rectangle. Calculate and plot for k=1,2,...,100.
$\frac{d}{dx}x^2 = 2x, \frac{d}{dx}x^3=3x^2$を使って$h(1,1)$を求め、近似で求めた値と比較せよ。
Integrate the function and compare the value with the approximation above.
n=2,m=3の場合の$p^n(1-p)^3$を展開し、n=1,m=1の場合と同様のことをせよ
Do the same for n=2 and m=3.
指数分布の期待値は $\frac{1}{\lambda}$であると言う。このことを、離散的な計算をすることで確認せよ。
The expected value of exponential distribution is $\frac{1}{\lambda}$. Calculate its expected value discretely.
$$
Pr(x) = \lambda \times e^{-\lambda x}
$$
微分積分の基礎技術 Basic skills of calculus
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