ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

2017-06-18

Covariance Functions

資料
Gaussian過程には分散共分散行列を使う
それをつくるには、2点に対して値を計算する関数が要る。それがCovariance functions
2点の差ベクトルで決まると考える場合( $x-x'$ )
2点間距離で決まると考える場合( $r=|x-x'|$ )
それ以外の距離っぽい定義で決まると考える場合(測地線距離、内積など)
などがある
rで決まるものが考えやすいが、rの関数はあまたある
網羅的にそれを表すのが、Matern class of Covariance Functions
- ただし、 $K_\nu (x)= \frac{J_\nu(x) \cos{(\nu \pi)} - J_{-\nu}(x)}{\sin{(\nu \pi)}}$ (第2種ベッセル関数)
- ただし、 $J_\nu (x) = \sum_{m=0} ^{\infty} \frac{(-1)^m}{m! (m+\nu +1)}(\frac{x}{2})^{2m+\nu}$ (第1種ベッセル関数)
- これっておどろおどろしいのだけれど
  - $\nu \to \infty$ でSquare exponential covariance matrix(二乗距離に応じた指数関数的減少関数)
  - を取らせると、指数関数とp次多項式で表される関数になる
    - $k_{p+1/2}(r) = exp(-\frac{\sqrt{2\nu}r}{l}) \frac{\Gamma(p+1)}{\Gamma(2p+1)} \sum_{i=0}^p \frac{(p+i)!}{i!(p-i)!} (\frac{\sqrt{8\nu}r}{l})^{p-i}$
  - $\nu$ は微分可能な回数も定めていて、それは、Covariance functionに要請する滑らかさをコントロールする
  - 具体的には(それなりに滑らかにしたいならこの辺りがよい)
    - $\nu = 3/2$ のとき $(1+\frac{\sqrt{3} r}{l}) e^{-\frac{\sqrt{3} r}{l}$
    - $\nu = 5/2$ のとき $(1+\frac{\sqrt{5} r}{l} + \frac{5 r^2}{3 l^2}) e^{-\frac{\sqrt{5} r}{l}$

- - もっと粗くするなら $\nu = 1/2$ で $e^{-\frac{r}{l}}$ 。これは１次元なら酔歩のときの速度の変化モデルであるOrnstein-Uhlenbeck過程

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