5 Landmark Based Shape Spaces ぱらぱらめくる『Nonparametric Inference on Manifolds: With Applications to Shape Spaces』

m次元空間(多様体)にk > m 個の点があるとき
変換不変量を問題にすることで、k個の点座標の異同を定量して、検定・推定・分類等をする
形空間(Shape spaces)の点として形を扱う
- Kendall's similarity shape spaces (平行移動と回転を無視。スケール変換で標準化)
- Reflection shape spaces (直交変換(回転と反転)を無視)
- Affine shapes (Affine transformationsを無視)
- Projective shapes (Projective transformationsを無視)
Shape spacesは、ユークリッド空間の部分空間ではない
Shape spacesはリーマン多様体Nを変換群Gを法とした剰余群[M=N/G])
- Nが $S^d$ であることも多い
変換は多様体上の軌道を作る(群作用がfreeなとき)
点には接空間があって、その接空間には軌道とそうでないものとに分かれる。軌道とそうでないものは相互に直交
Extrinsic analysisでは、Nをユークリッド空間に埋め込むから、Nも埋め込まれ、軌道も埋め込まれる
Intrinsic analysisでは、軌道同一視によって、NをMに沈めこむ(Riemannian submersion)
- 沈めこんだ減次元多様体では、リーマン測度(内積)の変換も出来る(内積が保たれる？)
- これを使って、沈めこんだ後の多様体での推定等を、オリジナルの多様体での距離・測度を使って考えることが出来る
いくつかのShape spaces
- (Direct) similarity Shape Spaces
  - m=2(２次元)の場合には、群作用はfree(単位元のみが、不変作用を持つ)なので、変換同一視の空間 $\Sigma_2^k$ はコンパクト微分可能多様体である
- Reflection Similarity Shape Spaces
  - m>2のときsimilarity transformationsの群作用はfreeとは限らない。それは $\Sigma_m^k$ が必ずしも多様体にならないことを意味する
  - Reflectionも同一視すると、m>2でのDirct similarity Shape Spacesの問題が解消する(こともある)ので、これを使ってExtrinsic解析をする手もある
- Affine Shape Spaces
  - 二次元泳動像の試行ごとのずれをAffine変換とみな巣ことで、この枠組みに入れることが出来るらしい
- Projective Shape Spaces
  - コンピュータビジョンでは透視図法的なことをやるが、それに使えるのがProjective shape spaces