4 Intrinsic Analysis on Manifolds ぱらぱらめくる『Nonparametric Inference on Manifolds: With Applications to Shape Spaces』

多様体上の距離を測地線に沿ってリーマン計量にのっとって測ることにするのが、すなおな距離のとり方
二乗ノルムをコストにしてFrechetを定めるのが基本。それ以外のコストノルム関数も使える
このようにしたとき、IntrinsicなFrechet mean & dispersionが推定される
用語・道具立て
- Geodesic 測地線
- Exponential map
  - 測地線が決まったら、測地線方向に進む初速度が接空間内ベクトルとして取れる。決まる。単位時間後の到達地点を $exp_p(v) = \gamma(1)$ と定める。ただしpは多様体上の点、 $\gamma(t)$ は測地線、vは初速度
- Cut Locus
  - ある点pから、ある測地線上に到達するのに、かかる時間は単位速度で進むと決めることで定まる。測地線以外の経路でもその点に到達することができるが、測地線で行くのが一番短時間で行ける場合がある(そのような場合も多い)。測地線経路が最短時間経路であるような、測地線上の点であって、かつ、もっとも時間がかかる点の集合をCut Locusと言う(球面の場合だったら、測地線を逆に辿って到達することとの競争になるので、「ぐるり周回測地線」における「最遠点」がそれになる。球面なら対蹠点
- Sectional Curvature
  - 曲率を表すリーマン測度はテンソル。１つのスカラーな曲率指標としてガウス曲率がある。それはその点における全方位の曲率のスカラー化だが、それを、四分扇について値化したもの
- Injectivity Radius
  - 多様体上の点から、そのCut Locusまでの測地線距離を考える。その値を多様体上の点すべてについて考慮したとき、その最小値が定まる。それのこと
- Convex Set
  - 多様体上のある部分(set)がConvexであるとは、そのsetの任意の２点間に唯一の最短な測地線が存在すること
上記、道具立てを使って、多様体上のある点における観測を多様体上のどこの点にどのくらいの重みとするべきか、というのを定める、重みの計算には、「距離」に応じたコスト関数が用いられる。