7 The Planar Shape Space ぱらぱらめくる『Nonparametric Inference on Manifolds: With Applications to Shape Spaces』

Direct Similarity Shape Spacesの中で $m=2$ の場合
平面上の形の解析は形解析の基本であり、需要も多いので、取り立てる
二次元平面上の点を複素平面上の点とみなす
複素数重心で標準化すると、重心を中心としたk次元複素ベクトルが形に対応する
これを $\lambda e^{i\theta}$ 倍することは、伸縮して回転することに相当するので、これによって一致するベクトルは同一視することにする
方向同一視で複素数的に１次元減り、回転同一視で複素数的にさらに１次元減る
これは複素射影空間 $CP^{k-2}$ となる
k個の二次元座標を長さkの複素ベクトルzとし、 $u = \frac{z-\bar{z}}{||z-\bar{z}||}$ が標準化複素ベクトル。これを回転すると $\pi (u) = \{e^{i \theta} u | -\pi \le u \le \pi\}$ 。この曲線が「形」を表す
これは射影平面 $H^{k-1}=\{w \in C^{k}/\{0\}|\sum_{i=1}^k w_i ~ 0\}$ にある $CS^{k-1}$ 複素球面上の点( $CS^{k-1} = \{u \in C^{k}|\sum_{i=1}^k u_i=0,||u||=1\}$
形間距離は $Re(e^{-i\theta} Conj(w) z)$ の最小値をコサインとする角度
この回転は $e^{i\theta} = \frac{Conj(w)^T u}{|Conj(w)^T u|}$ で与えられるという

m <- 2
k <- 5

x1 <- matrix(rnorm(m*k),ncol=m)
x2 <- matrix(rnorm(m*k),ncol=m)

x1. <- x1[,1] + 1i * x1[,2]
x2. <- x2[,1] + 1i * x2[,2]

u1 <- (x1.-mean(x1.))/sum(Mod(x1.-mean(x1.)))
u2 <- (x2.-mean(x2.))/sum(Mod(x2.-mean(x2.)))

sum(u1)
sum(Mod(u1))


z <- sum(Conj(u1) * u2)/Mod(sum(Conj(u1) * u2))

thetas <- seq(from=-1,to=1,length=1000)*pi

d <- rep(0,length(thetas))
for(i in 1:length(thetas)){
	tmp <- thetas[i]
	tmp2 <- u1 * exp(1i*tmp)
	d[i] <- abs(Re(sum(Conj(tmp2) * u2)))
}

plot(thetas, d,type="l")

abline(v=Arg(z),col=2)

Intrinsic Analysis in
- 上の点サンプルが複数あったときに、そこにどんな分布があるとみなすか、という解析ができる
  - 球形に配置されているとみなせるときは、方向統計学の意味での、中心と正規分布の分散共分散行列との推定ができる(これはFrechet分布)
  - より一般的な意味でのFrechet分布も推定できる
Extrinsinc Analysis in
- all k × k complex Hermitian matricesにマップできる(らしい)
  - Veronese-Whitney embeddingと呼ぶらしい
  - 複素空間単位球面上の複素ベクトル $u$ があったときに、 $u_i \bar{u_j}$ を $(i,j)$ 要素とする行列のこと
- このようしにして、Hermitian matricesがたくさん得られるので、それの「平均」とか「分布」とかを推定することができる
- 分布にできれば、検定もできる