Minimum-variance unbiased estimator
- Wiki記事(英語)を抄訳・意訳しておく
- パラメタ
で表される確率分布があるとする。その
は
なるパラメタの広がりを持つとする。
- そこからのiid標本がえられ他と気に、それを使って、
の関数となる何か(
の値を推定したいとする。
- 何かを推定するときに、どんなに頑張っても(標本数を多くしても)、真の分布に基づくそれ(真の
に基づくそれ)でないような何か簡略な推定をするのではなく(たとえば、線形関係にないのに、線形回帰をしてお茶を濁すのは、簡略な推定)、完璧な推定をするのが、unbiased estimationだが、それをするとする。そんなunbiased estimationをするのに複数の関数が取れるとする。それを
としたする。
- 推定では簡略にすると、標本セットを変えても推定結果がそれほどぶれず、きちんとすると、標本セットごとに推定結果がぶれるわけだが、そのぶれを
と書く。このぶれの大きさを最小にするような
はどんなものか、しかもそのぶれが小さくなるのは、
がどんな値になっている場合にも成り立つときの
はどんなものか、という話
- 確率分布が指数族のときには、指数分布表現をしてやると、そこに「十分統計量」というものが現れてくることは知られているが、この十分統計量によって表される量であって、しかも、それが、
のunbiased estimatorになっている(簡略推定ではなくてフル推定)とき、その
が、(uniformly) minimum-variance unbiased estimator (UMVUE) だよ、という話。