Minimum-variance unbiased estimator - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

Wiki記事(英語)を抄訳・意訳しておく
パラメタ $\theta$ で表される確率分布があるとする。その $\theta$ は $\Omega$ なるパラメタの広がりを持つとする。
そこからのiid標本がえられ他と気に、それを使って、 $\theta$ の関数となる何か( $g(\theta)$ の値を推定したいとする。
何かを推定するときに、どんなに頑張っても(標本数を多くしても)、真の分布に基づくそれ(真の $\theta$ に基づくそれ)でないような何か簡略な推定をするのではなく(たとえば、線形関係にないのに、線形回帰をしてお茶を濁すのは、簡略な推定)、完璧な推定をするのが、unbiased estimationだが、それをするとする。そんなunbiased estimationをするのに複数の関数が取れるとする。それを $\hat{\delta}(X_1,X_2,...)$ としたする。
推定では簡略にすると、標本セットを変えても推定結果がそれほどぶれず、きちんとすると、標本セットごとに推定結果がぶれるわけだが、そのぶれを $var(\hat{\delta}(X_i))$ と書く。このぶれの大きさを最小にするような $\delta(X_i)$ はどんなものか、しかもそのぶれが小さくなるのは、 $\theta$ がどんな値になっている場合にも成り立つときの $\delta(X_i)$ はどんなものか、という話
確率分布が指数族のときには、指数分布表現をしてやると、そこに「十分統計量」というものが現れてくることは知られているが、この十分統計量によって表される量であって、しかも、それが、 $g(\theta)$ のunbiased estimatorになっている(簡略推定ではなくてフル推定)とき、その $\delta(X_i)$ が、(uniformly) minimum-variance unbiased estimator (UMVUE) だよ、という話。