ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

2018-02-27

Knockoff 変数

Knockoff

Knockoff 変数を使ったFDRについての概説記事はこちら
説明変数 Xがnxp行列(nサンプル、p個の説明変数)であるときに
$\begin{pmatrix}X,\tilde{X}\end{pmatrix}^T\begin{pmatrix}X,\tilde{X}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\Sigma, \Sigma - diag(s)\\ \Sigma-diag(s), \Sigma \end{pmatrix}$
この形は2p個の変数の分散共分散行列になっており、Positive definite
したがって、 $diag(s)$ (対角行列)の取り方に制約がある
その制約がある中で、なるべく、 $\Sigma - diag(s)$ の対角成分を0に近づけたい。なぜなら、オリジナル変数と対応するKnockoff 変数との関係はできるだけ「無関係〜対角成分が0」であってほしいから
ではどんな制約があるか、というと、Schur complementを使って以下のようにする
- $G= \begin{pmatrix}A,B\\C,D \end{pmatrix}$ であるとき、 $G/D = A - B D^{-1}C$ である。今、 $A= D = \Sigma,B = C=\Sigma- diag(s)$ であるから
- $G/\Sigma = \Sigma -(\Sigma - diag(s)) \Sigma^{-1} (\Sigma - diag(s))$ となり、式変形していくと
- $G=diag(s) (2 \Sigma - diag(s))$ となる。両辺がpositive definiteなので、右辺の２項 $diag(s)$ と $\Sigma -diag(s)$ との両方がpositive definite
この条件を満たす $\diag(s)$ を探せばよい
Knockoff パッケージでは、対角行列 $diag(s)$ の対角成分を全部同じにして探す方法(create_equicollerated)を採用していたり、凸最適化であるSemidefinite optimization(こちらやこちらにて探索する方法を採用していたりする
このような方法でKnockoff 変数が作れるのは、 $n \ge 2p$ の場合
それ以外の場合は、 $\begin{pmatrix}X,\tilde{X}\end{pmatrix}$ の条件を満足するように工夫しながら、 $\tilde{X}$ を算出する

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