グラフ・スペクトル解析と代数的確率論のための雑多なメモ
- グラフを考える
- 無向グラフと有向グラフがある。有向グラフの中にはとくにDirected Acyclic Graph(DAG)と呼ばれるものがあり半順序・ポセットと関係がある
- グラフのノード集合は量子力学では、量子の取りうる「場所のようなもの」を表しており、ノード集合に連結情報を持たせたグラフの隣接行列は「物理量」を表しているとされる。行列には変換するものという見方もあり、「物理量は作用素」であるとの見方もされる。あるときにこの物理量を観察すると、状態に応じて「期待値」が観察される。物理量とその状態とから「期待値」が得られるという関係は、代数的確率論としてまとめられている。そのとき、グラフ~物理量~作用素は確率変数であると見られる
- ここで用いたのは隣接行列である。正方行列である
- DAG・ポセットの方では、グラフの接続行列というものを使う。
ノード数xエッジ数の非正方行列である - 半順序関係のTrue/Falseで正方行列の値の1/0を決める
- ポセットのノード集合には離散的確率質量分布の情報幾何的座標(座標)を付与することができる
- 座標が付与されたポセットは『ある確率的現象』とその『特定の確率質量分布』とを表している
- グラフを用いた確率的現象と分布との小まとめ
- グラフ自体は「確率的現象~確率変数」を表している
- グラフのノード数の長さのベクトルはその「確率的現象~確率変数」の特定の状態を表している
- 確率変数の特定の状態を「確率質量・密度(関数)」と呼ぶことにすれば、量子力学・物理量の方では、「状態を表すベクトル」と1対1対応する行列が存在することが知られており、それを「密度行列」と呼ぶ
- DAG・ポセットの方では、各ノードに確率質量を乗せることもできるし、それをポセットの半順序情報に基づいて表現しなおすと座標が各ノードに与えられる
- グラフの代数
- グラフのゼータ関数
- グラフのゼータ関数と言えば、伊原のゼータ関数。これは「サイクル」の長さ別の列挙総数の母関数
- グラフの隣接行列のk-乗の(i,j)成分はノードi からjへのk歩の歩き方の場合の数になるので、伊原のゼータ関数は、iからiへの歩き方の場合の数という意味では、隣接行列のk=0,1,.....-乗のトレース(対角成分の和)と関係しているとも(多分)言える
- 他方、接続行列・接続代数にもゼータ関数があって、これはまさにポセットで座標を扱うときに登場する関数。ゼータ関数は積分的な仕事をする。メビウス関数はその逆で微分的な仕事をする
- ただし、接続代数のゼータ関数が、「リーマンのゼータ関数〜素数の積」と繋がることの理解は、ちょっと難航しそうな感じ。なぜなら、このWiki記事の記載にある通り、接続代数のゼータ関数は「普通と違って」いて、Dirichlet seriesにまで戻らないとゼータ関数との共通性が見えない、と言うことらしいから("Zeta function of an incidence algebra, a function that maps every interval of a poset to the constant value 1. Despite not resembling a holomorphic function, the special case for the poset of integer divisibility (割り切れること) is related as a formal Dirichlet series to the Riemann zeta function." Wikiより引用)
- 他方、隣接行列や、エッジ行列を用いた「グラフの伊原ゼータ関数」の方は、サイクルをPrimesとする母関数である、と言う意味合いでの解釈が可能であり、リーマンのゼータ関数が、全自然数について、素数を用いて理解するための母関数である、と言う側面の対応が取りやすい
- このPDFはこの辺りを理解するために必要そうだ
- 確率変数の期待値とモーメント
- モーメント列はある意味で確率変数をよく特定する
- 確率変数の1次モーメントは平均値であり、いわゆる確率変数の期待値
- 隣接行列が属する*-代数的確率変数では、状態に対してがm次モーメントを表す
- 量子物理学的には、これが「観察されるモーメントの期待値」。それがスカラー値を持つということは、グラフのノードが「空間の座標」や「エネルギーの強さ」などの何かしらの「値」を持つものと想定していて、その値の平均やバラツキとしてのモーメントを観測する、という文脈(らしい)
- グラフノードに一様な分布があるとき、隣接行列の0乗に関する1次モーメント(平均)は1(ノード数を標準化したもの)になるようだ。隣接行列の1乗に関する1次モーメントはノードの次数の平均値になるだろう(グラフを二次元多様体と考え、ノードが多様体上に均一に分布していると考えれば、面積のようなものになるだろうか)
- 他方、ポセットの接続代数の方にも期待値というものがある。座標はそのノードに相当する期待値である。また指数型分布族表現(対数確率分布を線形分解した表現)の言葉では、線形要素(取りうる状態を並べたものに重みを与えたベクトル)に対応する期待値が座標である
- 特定のノードを基準にすること
- グラフは全体で一つの情報を表していて、特に1つのノードが特別ということはない、というのが原則である
- ただし、ある一つのノードを取り上げると、そこからのグラフ距離というものが定まる
- 隣接行列・隣接代数では、ある基準ノードからのグラフ距離によって階層的に排他的部分集合に分解して論を進めることがある
- これを利用すると、隣接行列を次の3つに分解することができる
- ノードx,yの間にエッジがあるとき、隣接行列Aの(x,y)成分は1。今、からx,yへの距離は、前者が1大きいか、後者が1大きいか、同じかの3通りになる
- これを用いてと分けるというのがその分解方法である
- 他方、ポセットにも基準ノードを定められることがある。例えば、ある1ノードが存在し、ポセット上の全てのノードに到達できるようなポセットや、その逆に、ポセット上の全てのノードからある1ノードに到達できるとしたとき、そのノードを基準ノードにすることで、ポセットの隣接行列の分解が可能になる
- グラフから作る正方行列と伊原のゼータ関数
- 基本は隣接行列
- エッジの隣り合わせ関係を表す行列(Edge matrix (エッジ本数x2)行、(エッジ本数x2)列の行列)
- グラフから全域木を取り出し、残ったエッジで作る正方行列も伊原のゼータ関数には使える
-グラフから作る非正方行列
-
- ノードxエッジの非正方行列〜接続行列。これからゼータ関数が作れる
- ノードとエッジの関係で行列を作るのがOKならば、グラフを単体的複体的に捉え、m次元単体とn次元単体との包含関係行列を考えることができて、。これは接続行列を含む
- そのほか
- 隣接代数的に考えるとき、3ノード間のグラフ距離関係を考えることがある。ノードx,y,zがあったときに、となっているとする。x,y の取り方によらずこのようなノードzの数がと一定であるようなグラフをDistance-regularグラフと呼ぶ。単純な素粒子を確率変数と見たときのグラフはこのような性質をもつらしい。逆に言うと隣接代数として見たときに単純な確率変数はdistance-regularだと言うことらしい
- Regularグラフと言うものも、ある。全てのノードの字数が等しいグラフのことで、これも隣接代数とその代数的確率論の展開がやりやすい(漸近的特性が定まりやすい)
- 独立
- 代数的確率論では、確率変数にいくつかの異なる「独立」の概念がある。これは期待値がある意味で変数ごとに分離して計算できると言うことを意味し、古典的な確率変数の古典的な独立の概念も、代数的確率論の枠組みで再定義できる
- 独立な確率変数は、複雑な確率現象を分解して理解する部品となる可能性の高いものであり、重要(なはず)
ぱらぱらめくる『Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs』
- 目次
- Preface
- 1 Quantum Probability and Orthogonal Polynomials
- 2 Adjacency Matrices
- 3 Distance-Regular Graphs
- 4 Homogeneous Trees
- 5 Hamming Graphs
- 6 Johnson Graphs
- 7 Regular Graphs
- 8 Comb Graphs and Star Graphs
- 9 The Symmetric Group and Young Diagrams
- 10 The Limit Shape of Young Diagrams
- 11 Central Limit Theorem for the Plancherel Measures of the Symmetric Groups
- 12 Deformation of Kerov's Central Limit Theorem
- その他:Rでいじってみる
Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs (Theoretical and Mathematical Physics)
- 作者: Akihito Hora,Nobuaki Obata,L. Accardi
- 出版社/メーカー: Springer
- 発売日: 2007/07/04
- メディア: ハードカバー
- この商品を含むブログを見る
目次
- Preface
- 1 Quantum Probability and Orthogonal Polynomials
- 2 Adjacency Matrices
- 3 Distance-Regular Graphs
- 4 Homogeneous Trees
- 5 Hamming Graphs
- 6 Johnson Graphs
- 7 Regular Graphs
- 8 Comb Graphs and Star Graphs
- 9 The Symmetric Group and Young Diagrams
- 10 The Limit Shape of Young Diagrams
- 11 Central Limit Theorem for the Plancherel Measures of the Symmetric Groups
- 12 Deformation of Kerov's Central Limit Theorem
- その他:Rでいじってみる
Preface
- ベルヌーイ乱数を例にとって、その確率測度、モーメントの記述、代数的確率表現、ブラケット記法、確率変数に相当する行列の分解、そのグラフとの関係について概説し、本全体の章立ての説明をする
- ベルヌーイ乱数Xとは、+1の値を取る確率が1/2、-1の値を取る確率が1/2であるような確率変数のこと
- のこと
- これを、Xが取りうる値を実数直線全体でとらえなおすと、二つのデルタ関数 を使って、と書くこともできる。これが「確率密度関数」であり、確率測度
- この確率測度を使えば、m次モーメントはと表せて、この値は、mが偶数のときに1、mが奇数のときに0となる
- 確率変数は、モーメントが表現できれば、別の表現の仕方をしてもよいとされているので、行列を使って表現することにする
- 天下り式にという行列と列ベクトルとを考えることにする
- これらが、ベルヌーイ確率変数を表している、とはどういうことかというと、なる内積がmが偶数のときは1、mが奇数のときは0になるという意味で、m次モーメントになっているという点で「同じ」だから
- さらに、このを分解してみよう。
- このときであることに注意すると、となることもわかる
- さて。このをにm回作用するということと、その作用後のベクトルとオリジナルのベクトルとの内積を取るということを、グラフとして考えてみることにする
- というのは、グラフの1点。というのもグラフの1点と見る。そのときというのは、を2点として、その間にエッジのある(無向グラフの)隣接行列となっている。そして、は第1頂点から第2頂点への有向エッジ、は第2頂点から第1頂点への有向エッジになっていて、2頂点からなる有向グラフの隣接行列でもある
- さて、そのだが、これをに作用するとになり、さらにを作用するととなり、2頂点のグラフから消えてしまう。はじめにを作用し、次にを作用するとに戻ってくる。そういう意味ではを出発し、m歩で、に帰ってくる歩き方の数になっている(ととに相当するステップを交互に取るしか、グラフ上を歩くすべはなく、mが偶数なら、元に戻るし、mが奇数なら、別の頂点に到達している)
- 以上が、とてもシンプルな例での、古典的確率変数、代数的確率表現、確率変数の行列表現とその分解、そのグラフとの対応とグラフ上の歩みの関係である
1 Quantum Probability and Orthogonal Polynomials
- *-代数と、*-代数を複素数に対応付ける写像の組を考える。この写像がかつのとき、この写像を「状態」と呼び、*-代数と状態とのペアが代数的確率空間を定める
- 代数的確率空間を、(扱いやすいように)標準的な表現にする。単位ベクトルによって状態があらわされるように*-代数Aを変換することで、それがなされるので、と変換する。ただし、はAの要素に作用し、その結果、対応する、状態は単位ベクトルに対応することになり、がpre-Hilbertスペースになっているという。この標準化した表現はGelfand–Naimark–Segal(GNS)表現と呼ばれる
- Prefaceで書いたベルヌーイ確率変数に対応するフェルミオン・フォック空間というものがある。それを拡張・一般化した考え方にInteracting Fock Probability spacesというものがある。それを理解するために、ヤコビ・シークエンスというものが出てきて、このあたりから、「状態数が有限か無限か」などが併せて扱えるようになるとともに、上げ下げ作用の大きさにも規則的な制約を入れたりする必要が出てくる(無限空間で遠くに大きい値を与えすぎると、『確率分布』としてうまくなくなることに対応)
- また、測度空間を定めたとして、モーメントを計算できるのが代数的確率変数だが、モーメントの列は無限に続く。この無限に続くモーメント列にも、「ちゃんと有限状態数の空間でまともになるための条件」とか「ちゃんと無限状態数の空間でまともになるための条件」とかが明らかにされてくる。この条件はモーメントを要素とする行列のdeterminantの大小条件として説明されている
- また、正規直交基底をなす多項式とかも使われる。
- ちなみに、作用素行列は状態の上げ下げへと分解することはベルヌーイ変数で示したが、複雑な確率変数の状態空間を考えるときには、上げ下げでなく、同じ状態の割合を変えるような作用素もあって、それは、作用素行列の分解成分の「対角成分行列」として出てくる、などのことを知っておく必要がある
-
2 Adjacency Matrices
- グラフ、隣接行列、頂点の次数などの基本のおさらい
- グラフの隣接行列のスペクトルと言えば、固有値とその重複度とで尽くされる
- が個ある、という情報のこと
- この情報を確率測度的にと書くと、s箇所に高さが重複度に対応するデルタ関数が立っているような関数としても表現できる
- これを固有値分布とかスペクトルの分布とか呼ぶ。無限グラフなどの場合は、固有値とその重複度のペアであらわすより固有値分布で表すほうが便利
- グラフには頂点集合があるから、その上に関数を定義することができる。その関数に内積を定義することで、この「グラフ頂点を台とする関数」はヒルベルト空間に配置される
- グラフ頂点上にデルタ関数というのを定義することにする。これは、グラフのある頂点xに対して、自身に対して1を、非自身頂点に対して0を与えるような関数とする。こうするとなる関数の集合がでできるが、これは、先に作ったグラフの頂点集合を台とした関数のヒルベルト空間の正規直交基底になっている
- このヒルベルト空間の部分空間であって、先の正規直交基底で張られた部分空間はpreヒルベルト空間(内積空間)になるという。ここにGNS表現が持ち込めて、この部分空間は線形作用素の*-代数になる
- こんな感じで、どんなグラフ(無限グラフも含めて)も、その部分グラフに関して有限な*-代数があることになる。有限な部分グラフではどの頂点の次数も有限
- 結局、グラフがあったら、その隣接行列は部分空間の*-代数(*-subalgebra)になっていて、なので、この*-subalgebraの要素は隣接行列の多項式であらわされることになる
- グラフが有限なら直径が有限となるが、その直径がnのとき、なる隣接行列のn+1個のべき乗列は線形独立な*-代数の要素となり、*-代数の要素をこれらの線形式であらわすことができることになる
- こうなれば、グラフの隣接行列についてとなるようなをに関するスペクトルの分布としたい
- たとえば、グラフのある点に対して、のように置けば(はこのグラフの隣接行列の一つ)、っていうのは、点から自身に戻るm歩の歩き方の通りの数になる。これを点oにおけるVacuum stateと呼ぶ
- は点xから点yへのm歩の歩き方
- 今、グラフの頂点に重み係数を乗せて、点oから各点へのm歩の歩き方の通りの数に頂点重みをかけて足し合わせる計算を考える。これはある点oを基準として、m=0,1,2,....歩の歩き方の場合の数の重み付き加算になる。これをdeformed vacuum stateと呼ぶらしい
- 各点の「重みづけ」を点oとの関係(距離とか)を使ってパラメタ化するっていうのもやるらしい()のような感じで。これをカーネル(関数)と称する。このカーネルは頂点ペアごとに値が決まるので行列の形をしている。Qを用いて表す
- そのうえで、のdeterminant列を問題にするらしい
- グラフの層化分解と隣接行列の分解。ある点からの距離を使うと、グラフのすべての点がdisjoint なサブセットに分けられる
- 今、2点x,yとの関係は、ある点oからの距離を基準にして、かかかそのいずれでもないかの4通りに分けられる
- 隣接行列の(x,y)成分の値が0のときは、気にしないとする。(x,y)成分が1のときに、のどれか一つを1にして残りの2つの行列の成分は0にするように分解する。どれに1を与えるかは、の関係によることにする
- これをグラフの隣接行列の量子分解という
- 隣接代数についてはこちらに少しまとめ直しました
- 有限グラフのスペクトル分布のm次モーメントについてが成り立つ
3 Distance-Regular Graphs
- ベルヌーイ確率変数はとてもシンプルでグラフスペクトル的な扱いも単純であった
- 同様に扱いやすいグラフから入るのが常道
- その「代数的確率変数」という視点から、グラフの扱いやすさ( 漸近的に無限グラフが扱える、という意味で…と思われる)を表すと『Distance-Regular』という概念が登場するらしく、まずは、それを扱い、その例として、次章以降に具体的なDistance-Regular GraphsであるHomogeneous trees, Hamming graphs, Johnson graphs, odd graphsなどが具体的に論じられる
- ということで、まずはDistance-Regularという概念の説明から入る
- グラフの3点x,y,zを考える。(x,yの距離がk)であるとき、で、かつ、であるような点zがグラフにいくつあるかをと表すことにする。Distance-regular グラフのIntersection数という
- (もしくは)とも表せる
- このはx,yの取り方によって一般には変わるが、それが一定であるようなグラフのことをdistance-regularと呼ぶことにする。これがdistance-regular graphの定義である
- k-th 距離行列というものを定める。行列要素は2点間の距離がkのときに、k-th 距離行列の要素値を1とし、それ以外を0とするもの。0-th距離行列は、単位行列、1-th(1st)距離行列はいわゆる隣接行列…
- という式が成り立ったりする
- Distance-regular graphsの距離行列によtって構成された*-代数は、k-th距離行列が張る線形空間でもある(ことは容易に確かめられる)
- Distance-regular graphであることは、グラフのk-th距離行列が距離行列Aの多項式であらわせることと必要十分条件な関係にもある
- 隣接行列による*-代数を考え、k-th距離行列が隣接行列の多項式であらわされることとを併せて、vacuume stateなどを扱うことができるし、そのスペクトル分布などを議論することもできる
- k-th距離行列が作る*-代数には名前もついていてBose-Mesner 代数という
- ここでを考えるとき(スペクトルを考えるとき)、が大事になるのだったが
- なる関係になるという意味で、distance-regular グラフは隣接行列・隣接代数のスペクトル分解において特別な位置にあることがわかる
4 Homogeneous Trees
- 自由群と関係するhomogeneous tree
- 、
- たとえば、のhomogeneous tree についてという式が得られるという
- このグラフがあらわしている測度分布(このグラフで点oからランダムに歩いて行って、m歩目に自身に帰ってくる歩きかたの場合の数をm次モーメントとしたとして、そのようなモーメント列を持つ測度分布)がだということが分かった、ということなのだろう
- この分布をKesten 分布と言う
- ベルヌーイ分布の場合には、モーメントが偶奇で0,1を交代するということがわかっていて、それに対する測度分布がである、ということに対応する
- 頂点間距離に応じて要素値を決めて作る行列Q(カーネル行列)を加えることで、さらに、内積空間的に隣接代数・k-th距離行列代数などが表す世界が広がる
- グラフ構造と、*-代数の行列(を量子分解したもの)と、カーネル行列とを使って、極限としてが得られるが、この代数的確率変数が取りうる状態空間をとしてという四つ組を「(フリー)Fock space」と言う。このは「不変量」なのだという
- フォック空間は、グラフの階層化とも関係している。ある点を取り上げると、そこからの距離によってグラフの全ての点は階層的部分集合に分けられる。距離nの点がなす部分集合に対して、とすると、これはいい感じの直交基底の特徴という特徴を持つ。この基底が張る空間をグラフGの階層化に付随するフォック空間と呼ぶ
5 Hamming Graphs
6 Johnson Graphs
- 別のRegular graphsの例として、Johnson graphsとOdd graphsを扱う
- どちらも、どんどん大きくするルールを有するグラフ
- Johnson graphsには指数分布と幾何分布が関係づく
- Odd graphsにはtwo-sided Rayleigh 分布が関係づく
- Johnson graphsは、正の整数vとそれ以下の整数dとで決まるグラフ。という集合の部分集合のうち、要素数がd個のものを対象とする。その対象とする部分集合を頂点とするグラフで、部分集合同士で1個だけ要素が違うとき、お互いに辺を引くというルール
- Odd graphsはJohnson graphsに似ている。vに奇数 2k-1を定めることにする。集合の部分集合であって、要素数がk-1のそれを頂点とする。エッジは、要素を共有していない場合に引く、と言うルール
- このようにみてくると、古典的な確率分布は、何か、規則正しいグラフの隣接代数に紐づいた代数的確率変数となることが多いのではないか…と思えてきたりする
7 Regular Graphs
- 条件を緩めよう
- Distance-regularではなく、Regularなグラフ。すべての頂点の次数が等しいグラフ
- Distance-regular graphsではInvariantが出てきた。これを漸近的なInvariantに緩める。Regular graphsではそうなる(らしい)
- Growing (ルールを決めたらどんどん大きくできる)Regular graphsを考えることにする
- Growingだから、その漸近的極限が議論できる
- 整数格子はその例
- その議論がうまくまわるためにはある3つの制約がある
- その制約の下でのGrowing Regular Graphsについて漸近的不変量の議論がなされる
8 Comb Graphs and Star Graphs
- Independenceという考え方に話を切り替える
- Growing graphsを考える
- そのうえで、林衛s津行列を複数の独立ランダム変数の和にできるような場合を扱う
- 独立とは何かを定義しないと話が進まない
- 古典的な確率変数の場合の独立はのようなもの。これは可換な確率変数の独立
- いくつかの非古典的独立の定義がある
- 代数的確率変数の独立を考えるとき、確率変数をグラフと見るなら、グラフの積のようなものが登場するようだ
- それぞれのグラフにある1点を原点としてとり、そこをグラフの積の原点として、組み合わせるような「積」を「★積」と呼ぶ
- ある1つのグラフの原点を取り直して、そのグラフの全点を網羅し、それらについて★積をとったものと、隣接行列の積とに関係がある
9 The Symmetric Group and Young Diagrams
- この章以降は対称群を代数的確率論・量子確率論的に扱い、その漸近的極限を考えるらしい(グラフ一般の話ではないので、自分の本来の興味から外れるので、パラパラめくるのはここまでとする)
10 The Limit Shape of Young Diagrams
11 Central Limit Theorem for the Plancherel Measures of the Symmetric Groups
12 Deformation of Kerov's Central Limit Theorem
その他:Rでいじってみる
量子力学と*-代数と状態
- 代数的確率論をやっていると、それが量子確率論なのだが、物理との関連がわからなくなるので、ちょっとメモ
- 量子力学では、物理量は行列であらわされる。その物理量の行列は*-代数の1要素である
- 量子確率論・代数的確率論では、*-代数と状態関数のペアで考える。*-代数の要素に複素数を対応付ける写像が「状態関数」である
- 状態関数は物理学でいうところの、「あるときある場所?の様子」に相当する
- 物理量に対応する*-代数の要素をとし、ある状態をであらわすと、となる
- (物理の普通に考える物理量とその「観測値?」の場合には)、この状態関数は、ある正方行列を対応させたうえで、を計算したものになるということになっている。そして、これは、「物理量の期待値・平均値」になっている、という
- と書いたけれど、[tex:]というブラ・ケット記法にも対応するそう。ちなみには波動関数(場所ごとに値が違う関数)
ぱらぱらめくる『量子確率論の基礎』
- 作者: 明出伊類似,尾畑伸明
- 出版社/メーカー: 牧野書店
- 発売日: 2003/09/01
- メディア: 単行本
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- こちらで、この本の著者が同じ興味で書かれているらしいpdfをぱらぱらめくってメモをした
- 重複が出てしまうので、この記事では、超うっすらとぱらぱらすることにする
- 第1章は代数的確率空間の基礎。*-代数と状態について。そこに現れる代数的確率変数について。*-代数の大事な例である行列を取り上げ、行列代数と密度行列について
- 第2章は、行列代数をヒルベルト空間上に作用する線形作用素と見ることができることを述べ、量子力学では物理量が作用素であることと繋いでいる
- 第3章は、(多分)もっとも単純な例としてコイン投げと言う確率変数を取り上げ、それを代数的確率変数として扱うとはどう言うことかの説明をしつつ、それを量子力学でのフェルミオン・フォック確率空間として、物理の世界として説明している
- 第4章は、量子調和振動子と言う、別の量子力学の基本的な題材での代数的確率の説明をしている。量子ブラウン運動とかポアソン型確率変数の代数的実現を扱い、代数的確率論の扱いにどんどん慣れることを求めている。量子力学では「ボゾン。フォック空間」のことだと言う
- 第5章では、確率空間が独立である、と言うことの入り口として、可換な場合を扱う。整数格子上のランダムウォークがとりあげられる。この例は「独立性」をもつランダムウォークのもっとも考えやすい例として選ばれているらしい。図形的表現は多次元整数格子。
- 第6章では、シングルトン条件と言うものを扱う。ちょっと、これの重要性がわからないままだし、どうしてここに配置されているのかもわからないままなのだが・・・(第7章で扱う自由独立性とシングルトン条件とが対応するかららしい)
- 第7章では、自由群が作る等質樹木グラフにおけるランダムウォークを扱う。この例は、可換性の点で特徴的な例となっている。第5章が独立性、第7章が可換性の取り扱い、と言う対応関係らしい。この等質樹木上のランダムウォークのモーメント・密度行列がとても特徴的(らしい)。量子力学では「自由フォック空間」のことだとう言う。カタラン数(格子最短経路の数え上げと関連)と繋げて考えることもできる
- 第8章は相互作用フォック確率空間について。第3、4、7章が、それぞれフェルミオン・フォック空間、ボゾン・フォック空間、自由フォック空間と言う相互作用フォック空間の中の特別なものだったので、多彩な量子の相互作用を扱う確率空間として、相互作用フォック空間を扱う、と言うこと。で表される量子力学の「なんだっけ、これ」に対して、フェルミオン、ボゾン、自由、たちは、綺麗な積分式が書けるわけだが、それらは、あるルール(ヤコビ数列)を使うと同じ形式に統一できて、ある確率測度のモーメント積分式にできる。そのうまい具合の分布をq-変形ガウス分布と言う。それらを合わせて行きましょうと言うこと。それがモーメントとして表せるし、そのこと自体が、「確率変数」として扱いますよ、と言うことのようだ。そしてモーメントを成分とする行列を考えたりする。さらに、直交多項式列が作れたりする。直交しているものが取れたら、それによって分解したくなる。それが量子分解。また、この過程で、作用素が行列として扱われ続ける。単純な設定なら単純な行列が、複雑な設定なら複雑な行列が現れる
- 第9章はグラフとその隣接行列の漸近的スペクトル解析へと、代数的確率論を繋げる章
- グラフには隣接行列がある。隣接行列はべき乗が計算できるし、そもそも、一般的に正方行列は*-代数として取り扱うことができるから、ここに、適当な状態を持ち込めば、隣接行列を代数的確率変数とした代数的確率空間ができる。特に、その実対称性から、古典的確率変数の代数的確率表現であることもわかる
- 隣接行列の特徴として、グラフ距離が1である2点に対応する要素を1とする正方行列がいわゆる隣接行列であるが、それを、「距離が1である」ことに着目していることを強調して第一隣接行列と呼ぶことにすると、グラフ距離がiである2点に対する要素を1とする正方行列も作れて、第i隣接行列と言うようなものも扱えると言う
- また、別の特徴として、と言う第一隣接行列のk乗は、2点を結ぶ道の個数を要素とする行列であると言う特徴もある
- さて。こんな隣接行列だが、量子力学で、作用素を生成・消滅と言う上がったり下がったりの作用の和で表すことを量子分解と言うけれど、それと同じように、ある2点の関係を、原点からの距離が近くなるのか遠くなるのか、同じなのかとで取り扱う、と言うことをしてやると、作用素が上げる作用素と下げる作用素とに分解できてくる。この辺りをグラフの特徴とか極限とかと結びつけてやると言うのがグラフのスペクトル分解との絡みになるらしい。ポセット構造の記述の一方法であると言い切って良さそうだ
- この本では、扱っているのが、名の通ったグラフに関することであって、一般化していくと、収集がつかなくなるのか、何かあるのか、そのあたりまではよくわからない。
- とはいえ、情報幾何と緩いながらも関係するとのあとがきの1文は興味深い
ぱらぱらめくる『非可換確率論における独立性と無限分解可能分布』
- こちらのpdfを眺める
- 1 非可換確率論(を読むと、大意は取れるようです…。大意が取れれば良いので、そこで終わりにするかもしれません)
- 名前の由来
- ランダム行列
- 自由確率論
- いわゆる普通の確率変数が2つあって独立な時、可換なので、その期待値の計算は簡単だが、非可換だと簡単にならなくて、ごちゃごちゃしてくる。そんなごちゃごちゃした計算をしないといけない複数の非可換確率変数が独立か非独立かを考えるには、普通の「独立のルール」では判断ができない。それを「自由独立性」と呼び、それを論じるのが「自由確率論」。ちなみに、この自由確率論は、群や代数の自由積と相性が良いので、自由確率論との呼び名がある。
- 独立性。独立であると言うことを、期待値・モーメントの具合で定めようとするのが古典確率論・代数的確率論の方針だが、そうすると「混合モーメントの計算規則」が「種々の独立性」を定めることと言い換えることができる。その線に沿っていくと、古典独立性、代数的確率論の自由独立性、ブール独立性、単調独立性があることが知られている。
- 確率論のアナロジー
- ランダム行列と自由確率論
- 他分野への影響
- 2 古典確率論とモーメント
- 3非可換確率論