ぱらぱらめくる『量子確率論の基礎』
- 作者: 明出伊類似,尾畑伸明
- 出版社/メーカー: 牧野書店
- 発売日: 2003/09/01
- メディア: 単行本
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- こちらで、この本の著者が同じ興味で書かれているらしいpdfをぱらぱらめくってメモをした
- 重複が出てしまうので、この記事では、超うっすらとぱらぱらすることにする
- 第１章は代数的確率空間の基礎。*-代数と状態について。そこに現れる代数的確率変数について。*-代数の大事な例である行列を取り上げ、行列代数と密度行列について
- 第２章は、行列代数をヒルベルト空間上に作用する線形作用素と見ることができることを述べ、量子力学では物理量が作用素であることと繋いでいる
- 第３章は、（多分）もっとも単純な例としてコイン投げと言う確率変数を取り上げ、それを代数的確率変数として扱うとはどう言うことかの説明をしつつ、それを量子力学でのフェルミオン・フォック確率空間として、物理の世界として説明している
- 第４章は、量子調和振動子と言う、別の量子力学の基本的な題材での代数的確率の説明をしている。量子ブラウン運動とかポアソン型確率変数の代数的実現を扱い、代数的確率論の扱いにどんどん慣れることを求めている。量子力学では「ボゾン。フォック空間」のことだと言う
- 第５章では、確率空間が独立である、と言うことの入り口として、可換な場合を扱う。整数格子上のランダムウォークがとりあげられる。この例は「独立性」をもつランダムウォークのもっとも考えやすい例として選ばれているらしい。図形的表現は多次元整数格子。
- 第６章では、シングルトン条件と言うものを扱う。ちょっと、これの重要性がわからないままだし、どうしてここに配置されているのかもわからないままなのだが・・・（第７章で扱う自由独立性とシングルトン条件とが対応するかららしい）
- 第７章では、自由群が作る等質樹木グラフにおけるランダムウォークを扱う。この例は、可換性の点で特徴的な例となっている。第５章が独立性、第７章が可換性の取り扱い、と言う対応関係らしい。この等質樹木上のランダムウォークのモーメント・密度行列がとても特徴的（らしい）。量子力学では「自由フォック空間」のことだとう言う。カタラン数（格子最短経路の数え上げと関連）と繋げて考えることもできる
- 第８章は相互作用フォック確率空間について。第３、４、７章が、それぞれフェルミオン・フォック空間、ボゾン・フォック空間、自由フォック空間と言う相互作用フォック空間の中の特別なものだったので、多彩な量子の相互作用を扱う確率空間として、相互作用フォック空間を扱う、と言うこと。
- 第９章はグラフとその隣接行列の漸近的スペクトル解析へと、代数的確率論を繋げる章
- グラフには隣接行列がある。隣接行列はべき乗が計算できるし、そもそも、一般的に正方行列は*-代数として取り扱うことができるから、ここに、適当な状態を持ち込めば、隣接行列を代数的確率変数とした代数的確率空間ができる。特に、その実対称性から、古典的確率変数の代数的確率表現であることもわかる
- 隣接行列の特徴として、グラフ距離が1である２点に対応する要素を1とする正方行列がいわゆる隣接行列であるが、それを、「距離が1である」ことに着目していることを強調して第一隣接行列と呼ぶことにすると、グラフ距離がiである２点に対する要素を1とする正方行列も作れて、第i隣接行列と言うようなものも扱えると言う
- また、別の特徴として、
と言う第一隣接行列のk乗は、２点を結ぶ道の個数を要素とする行列であると言う特徴もある
- さて。こんな隣接行列だが、量子力学で、作用素を生成・消滅と言う上がったり下がったりの作用の和で表すことを量子分解と言うけれど、それと同じように、ある２点の関係を、原点からの距離が近くなるのか遠くなるのか、同じなのかとで取り扱う、と言うことをしてやると、作用素が上げる作用素と下げる作用素とに分解できてくる。この辺りをグラフの特徴とか極限とかと結びつけてやると言うのがグラフのスペクトル分解との絡みになるらしい。ポセット構造の記述の一方法であると言い切って良さそうだ
- この本では、扱っているのが、名の通ったグラフに関することであって、一般化していくと、収集がつかなくなるのか、何かあるのか、そのあたりまではよくわからない。
- とはいえ、情報幾何と緩いながらも関係するとのあとがきの１文は興味深い
