量子力学と*-代数と状態

  • 代数的確率論をやっていると、それが量子確率論なのだが、物理との関連がわからなくなるので、ちょっとメモ
  • 量子力学では、物理量は行列であらわされる。その物理量の行列は*-代数の1要素である
  • 量子確率論・代数的確率論では、*-代数と状態関数のペアで考える。*-代数の要素に複素数を対応付ける写像が「状態関数」である
  • 状態関数は物理学でいうところの、「あるときある場所?の様子」に相当する
  • 物理量に対応する*-代数の要素をA^*とし、ある状態を\psiであらわすと、f(A^*,f) -> Cとなる
  • (物理の普通に考える物理量とその「観測値?」の場合には)、この状態関数\psiは、ある正方行列\rhoを対応させたうえで、Trace(\rho A^*)を計算したものになるということになっている。そして、これは、「物理量の期待値・平均値」になっている、という
  • Trace(\rho A^*)と書いたけれど、[tex:]というブラ・ケット記法にも対応するそう。ちなみに\psi波動関数(場所ごとに値が違う関数)