ボーズ(一匹も釣れない)になる確率の指数関数exp(-x)表現

• 「(釣り人が)ボーズ」になる確率の説明404 Not Found

単位時間あたり、m匹の魚を釣り上げる釣り人が、t単位時間の間0匹しか釣果がない確率prob_Bを「ボーズ確率」と呼んでいる。ボーズとは、一匹も釣果がないこと(のようだ）。今、mが時間によらず一定だとすると、

prob_B(t)=exp(-m*t)

である。

これは、有限時間Tの間に、m*Tの釣果が期待されるときに、その釣果がTのうちのはじめのt単位時間には一匹も釣れず、残りのT-t単位時間にm*T匹が釣れる確率の計算((T-t)/T)^(m*T))を想定し、Tを無限大極限を取ることとして示している。

ここで自然対数 e が出てくるのは e の定義

• から。

• Coalescenceが観測されるまでの待ち時間
  
  • 参考文献はno title
    
    • fD(tD)は次回Coalescenceが観測されるまでの時間がtDである確率密度関数
    • ( )は組み合わせの記号
    • nDt0は時刻t0における
  • 上述の「ボーズ確率」と異なるのは、Coalescenceの発生確率が一定ではなく、時間経過とともに変化することである。そのため、式は

となり、これは

• exp(-t)
  
  • の骨格を持つが、
• [係数]ｘexp(-[時間の関数])
  
  • のように、修飾されている。
  • この式の導出は http://d.hatena.ne.jp/ryamada22/20050511:5月11日の日記] に改めて記載しなおし
  • [係数]は、fD(tD)が確率密度関数であるから、tDが0以上の範囲における積分が１となるように調整するために存在するものとみなせる。
  • 一方[時間の関数]は、離散的時刻における時刻の関数の和になっている
    
    • ある時刻に発生するCoalescenceは相互にCoalesceしうる染色体ペアの数に比例するから、nDt0(時点t0におけるARGに現れている染色体数)本の染色体がつくるペアに比例し、この「ARGに現れている染色体数」はCoalescenceが起きなければ変化しないので、時間に依存していない
    • 一方、「ARGに観測している染色体同士にCoalescenceが起きるかいなか」は、そのとき存在している全染色体本数(の自乗？に→筆者に問い合わせ中)に反比例し、この全染色体本数は時間の関数なので、Summation記号の中に書かれている

ここで用いている数式記法はryamadaのコンピュータ日記 - てふ参照。