高校数学の復習(駆け足で読む統計学のための数学入門30講 1)

• 第１講　基礎事項とア・ラ・カルト

• 二次方程式の解
  
  • の解。
  • は判別式。二次方程式が実数解を持つか虚数解を持つかを判別する式
    
    • そのテキスト表記

[tex:ax^2+bx+c=0]

[tex:\Large x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}]

[tex:D=b^2-4ac]

• 平方完成
  
  • 二次式を「なんとかの二乗」「足す」「なんとか」、にすること
  • ただし
    
    • そのテキスト表記

[tex:\Large a(x-A)^2+b(x-B)^2=(a+b)(x-C)^2+\frac{ab}{a+b}(A-B)^2]

[tex:\Large C=\frac{aA+bB}{a+b}]

• 複素数
  
  • 
  • 複素数はと表し、を実部、を虚部と呼ぶ
  • は の共役複素数と呼び、
    
    • が実数ならは、
    • 
    • 
    • ,
    • 
    • そのテキスト表記

[tex:i=\sqrt{-1}(i^2=-1)]
複素数は[tex:a+bi]と表し、[tex:a]を実部、[tex:b]を虚部と呼ぶ
[tex:\alpha=a-bi] は [tex:\overline{\alpha}=a+bi] の共役複素数と呼び、

[tex:\alpha] が実数ならは、[tex:\alpha = \overline{\alpha}]
[tex:\overline{\alpha\pm\beta}=\overline{\alpha}\pm\overline{\beta}]
[tex:\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}]
[tex:\Large \overline{\bigl(\frac{\alpha}{\beta}\bigr)}=\frac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}], [tex:(\beta\not=0)]
[tex:\alpha\overline{\alpha}=a^2+b^2]

• 指数と対数
  
  • 指数関数 は単調増加関数で,
  • 対数関数 は単調増加関数で,
  • 対数
    
    • として
      
      • 
      • 
      • 
      • 
      • 
      • 
      • 
  • そのテキスト表記

指数関数 [tex:y=a^x (a>0,a\not=1)]は単調増加関数で[tex:\lim_{x\to-\infty}e^x=0], [tex:\lim_{x\to\infty}e^x=\infty]
対数関数 [tex:y=\log_ax]は単調増加関数で[tex:\lim_{x\to0}\log{x}=-\infty], [tex:\lim_{x\to\infty}\log{x}=\infty]
対数

[tex:a>0,a\not=1,b>0,b\not=1,M>0,N>0]として

[tex:\log_a{a}=1]
[tex:\log_a{1}=0]
[tex:M=a^{\log_a{M}}]
[tex:\log_a{MN}=\log_aM+\log_zN]
[tex:\log_a{\frac{M}{N}}=\log_aM-\log_aN]
[tex:\log_a{M^t}=t\log_aM]
[tex:\log_aM=\frac{\log_bM}{\log_ba}]

• 集合
  
  • なる性質を満たすの集まりをとしたとき
  • と表し、はの要素であるといい、と表す
  • そのテキスト表記

[tex:q(x)]なる性質を満たす[tex:x]の集まりを[tex:A]としたとき
[tex:A=\{x|q(x)\}]と表し、[tex:x]は[tex:A]の要素であるといい、[tex:x\in{A}]と表す