と(駆け足で読む統計学のための数学入門30講 2)

• 第２講　和と積

• 和(sum)、
  
  • 等差数列の和
    
    • 
  • 等比数列の和
    
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      • その無限和、ただし、公比。
        
        • 幾何分布：成功する確率、失敗する確率のとき、回目に初めて成功する（回続けて失敗する）確率は。今、が0の場合、1の場合、2の場合、・・・の場合を数え上げると、である。すべての場合を足し合わせてその総和が１となったこの分布は、確率分布の１つであり、幾何分布と呼ばれる
• 積(product)、
  
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• 統計の場面で
  
  • 平均
  • 平方和
  • 不偏分散
  • 偏差積和（データ対について
    
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  • 相関係数
    
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  • 尤度と尤度関数
    
    • 尤度は複数の独立変数がある場合、それらの掛け算になり、変数の数が増えると相当小さい値になる。また、尤度比検定（２つの条件で得られた尤度を比較し、どちらの条件がよりたしからしいかを検定し、その確からしさをＰに置き換える方法）においては、尤度の比（小さい数値となる尤度の割り算で得られる比）よりも、尤度の対数の差をとることによって行われる。なぜならば、対数尤度の差（の２倍）がカイ自乗分布に近似的に従い、Ｐ値化して検定することができるからである。このあたりの事情は次の式からわかる。
    • 条件での尤度
    • 条件での尤度
    • 尤度比
    • 条件での対数尤度
    • 条件での対数尤度
    • 対数尤度比
• このテキスト表記

和、[tex:\sum]

[tex:\Large S_n=\sum_{k=1}^{n}{a_k}=\sum_{k=1}^{n}{\{a+(k-1)d\}=\frac{n}{2}\{2a+(n-1)d)\}]

[tex:\Large S_n=\sum_{k=1}^{n}{a_k}=\sum_{k=1}^{n}{ar^{k-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}]

[tex:|r|<1]。[tex:\Large \sum_{k=1}^{\infty}{a_k}=\sum_{k=1}^{\infty}{ar^{k-1}=\frac{a}{1-r}]

[tex:\Large \sum_{k=0}^{\infty}pq^k=\frac{p}{1-q}=\frac{p}{p}=1]

[tex:\Large \prod_{i=1}^{n}=x_1x_2\cdots x_n]

条件[tex:\theta_1]での尤度[tex:L(\theta_1)=\prod_{i=1}^{n}p_i(\theta_1)]

条件[tex:\theta_2]での尤度[tex:L(\theta_2)=\prod_{i=1}^{n}p_i(\theta_2)]

尤度比[tex:\frac{L(\theta_1)}{L(\theta_2)}=\frac{\prod_{i=1}^{n}p_i(\theta_1)}{\prod_{i=1}^{n}p_i(\theta_2)}]

条件[tex:\theta_1]での対数尤度[tex:\log{L(\theta_1)}=\log{\prod_{i=1}^{n}p_i(\theta_1)}=\sum_{i=1}^n \log{p_i(\theta_1)}]

条件[tex:\theta_2]での対数尤度[tex:\log L(\theta_2)=\log \prod_{i=1}^{n}p_i(\theta_2)=\sum_{i=1}^n \log p_i(\theta_2)]

対数尤度比[tex:\frac{L(\theta_1)}{L(\theta_2)}=\frac{\prod_{i=1}^{n}p_i(\theta_1)}{\prod_{i=1}^{n}p_i(\theta_2)}=\sum_{i=1}^n \log p_i(\theta_1)-\sum_{i=1}^n \log p_i(\theta_2)]