ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

2006-09-19

残差平方

統計相関

Multiple correlation coefficientの記事はこちらであるが、この記事で
$￥sum_i(Y_i-￥bar{Y})^2=￥sum_i(Y_i-￥hat{Y_i})^2+￥sum_i(￥hat{Y_i}-￥bar{Y})^2$ （☆）を用いた
この関係を式変形で示しておく
前提として、 $￥hat{Y_i}$ は、 $￥hat{Y_i}=￥sum_kb_k X_{ki}+b_0$ と書き表せて、このとき、 $a,b$ は、 $Y_i=￥sum_k b_kX_{ki}+b_0+￥epsilon_i$ と表したときに、 $￥sum_i(Y_i-￥hat{Y_i})^2$ が最小となるような $b_0,b_1,...,b_K$ を最小自乗法で求めた解である。ただし、 $￥bar{Y}=￥frac{￥sum_iY_i}{n}$
式を、最小自乗法の解であるから、変数で偏微分した式は、いずれも0である
- $-2￥sum_i X_{ki}(Y_i-￥hat{Y_i}) = 0$ ... $b_k$ で微分したとき（＊１）
- $-2￥sum_i (Y_i-￥hat{Y_i}) = 0$ ... $b_0$ で微分したとき（＊２）
（☆）式の左辺と右辺の差を、変換して行くと次のようになる
$￥sum_i(Y_i-￥bar{Y})^2-￥sum_i(Y_i-￥hat{Y_i})^2-￥sum_i(￥hat{Y_i}-￥bar{Y})^2$
$￥sum_i(Y_i^2-2Y_i￥bar{Y}+￥bar{Y}^2 - Y_i^2+2Y_i￥hat{Y_i}-￥hat{Y_i}^2-￥hat{Y_i}^2+2￥hat{Y_i}￥bar{Y}-￥bar{Y}^2)$
$￥sum_i(-2Y_i￥bar{Y}+2Y_i￥hat{Y_i}-￥hat{Y_i}^2-￥hat{Y_i}^2+2￥bar{Y}￥hat{Y_i})$
$2￥sum_i(-Y_i￥bar{Y}+Y_i￥hat{Y_i}-￥hat{Y_i}^2+￥bar{Y}￥hat{Y_i})$
$2￥sum_i(￥hat{Y_i}(Y_i-￥hat{Y_i})-￥bar{Y}(Y_i-￥hat{Y_i}))$
- この式の第２項は式（＊２）より0
- この式の第１項は式（＊１）（＊２）より0
したがって、（☆）の左辺と右辺は等しい

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