ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

2007-04-02

SNPの２値性と包除原理(集合論・組合せ論)

包除原理
- Wikipediaの記事はこちら
- 全体集合 $O$ がある。
- $O$ は $A$ もしくは $￥bar{A}$ に２分されるとする。
- 同様に、 $O$ は $B$ もしくは $￥bar{B}$ に２分されるとする。
- このようなとき $O$ は $A￥cap B,A￥cap ￥bar{B},￥bar{A}￥cap B, ￥bar{A}￥cap ￥bar{B}$ に４分される。
- 包除の原理は $|￥bar{(￥bar{A}￥cap ￥bar{B})}|=|A￥cup B| = |A| + |B| - |A￥cap B|$ であると言っている。
- 式変形により
  - $|￥bar{A}￥cap ￥bar{B}|=|O|-|A|-|B|+|A￥cap B|$
  - さらに、 $X,￥bar{X}$ を入れ替えることにより
  - $|A￥cap B|=|O|-|￥bar{A}|-|￥bar{B}|+|￥bar{A}￥cap ￥bar{B}|$
- ２分要素をk個にまで増やすと
  - $|￥bigcap_{i=1}^{k}A_i|=|O|-￥sum_{i=1}^{k}|￥bar{A_i}| + ￥sum_{i,j:i<j}|￥bar{A_i}￥cap ￥bar{A_j}| -￥sum_{i,j,k:i<j<k} ￥bar{A_i}￥cap ￥bar{A_j}￥cap ￥bar{A_k} + ... ￥pm (￥bar{A_1}￥cap ￥bar{A_2}￥cap ... ￥cap ￥bar{A_k})$

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