正四面体中の格子座標 - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

『格子』についてのwikipediaの記事はこちら。各座標の値を整数値として持つ点のうち、隣接する点を結んだものを幾何学上の格子という。
先日、SNPのペアワイズハプロタイプ頻度の分布を正四面体上の点として表現することについて書いた(記事こちら)。
ペアワイズハプロタイプ状態の遷移について格子座標にてモデル化しようとすると、このような格子の構造について、ある程度の理解が必要となる。
正四面体中の格子座標
- 単位大の正四面体を整列させると、大きな正四面体を作ることができる。このようにしてできる正四面体は、単位大の正四面体と、正八面体とから出来上がる。このような、蜂の巣状の構造を、Tetrahedral-octahedral honeycomb（TOH)と呼ぶ(wikipediaの記事はこちら)
TOH の頂点数、辺数について以下のようにまとめる
- 単一の点を最小のTOHとし、これを、第1番目のTOH(1)格子とし、以後、k番目のTOH(k)について、その１辺の頂点数 $Ve(k)=k,(V on edge)$ として表すこととする。
TOH(k)の１辺上の単位長さの辺の数は $Ee(k)=k-1$
TOH(k)の１面は長さ $k-1$ の３辺が作る正三角形である。この正三角形上の頂点の数 $Vs(k)=￥frac{k(k+1)}{2}$
TOH(k)の１面上の単位長さの辺の数は $Es(k)=￥frac{3}{2}k(k-1)$
TOH(k)中には単位正四面体が $￥frac{1}{6}(k-1)k(k+1)$ 個あり、その空隙を埋める正八面体が $￥frac{1}{6}(k-2)(k-1)k$ 個ある
TOH(k)中の頂点の総数は $Vc(k)=￥frac{1}{6}k(k+1)(k+2)$ である
TOH(k)中の単位辺の総数は $Ec(k)=(k-1)k(k+1)$ である
正四面体格子における、辺数:頂点数の比の極限は６である。このことは、格子内部の頂点が12=6x2個の頂点と連結であることを意味している。
有限格子
- 無限格子を考えるときには、格子の周辺部について無視することができるが、ハプロタイプ頻度のモデル化にあたっては、周辺(格子周辺を構成する、４点、６辺、４面)はそれぞれ、無視し得ないエンティティであった(こちらを参照)。
- したがって、ハプロタイプ正四面体座標においては、有限格子について考えることが必要であり、有限格子の周辺部と非周辺部とでは、異なる挙動を仮定する必要がある。
- そのために、周辺部の頂点数・辺数についてもまとめておく(この下はまだ書きかけ)
  - 有限格子の端点は４個
  - その端辺は６本
  - 表面は６面
  - 端辺上の格子点であって、有限格子全体の端点でないものは、１辺あたり $(k-2)$ 、６辺分で $6(k-2)$
  - 表面上の点であって、辺上の点でないものは、１面あたり $￥frac{1}{2}(k-2)(k-3)$ で、４面分で $2(k-2)(k-3)$
  - 表面上の辺であって、辺上の辺でないものは、１面あたり $￥frac{3}{2}(k-1)(k-2)$ で、４面分で $3(k-1)(k-2)$
- 格子の内部の点は $￥frac{1}{6}(k-4)(k-3)(k-2)$
- 格子の内部の点同士を結ぶ辺は $(k-5)(k-4)(k-3)$

これらを計算するエクセル(コメントなど、親切でない)はこちら