正単体座標系で分割表を空間配置する - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

昨日の続き
昨日の正単体座標系では、重心を中心とする $N-1$ 正単体頂点の位置ベクトルを用いて、和の固定された $N$ 変数のセットを $N-1$ 次元空間の点に対応付けた
今日は、周辺度数が固定された２次元分割表( $N_1 \times N_2$ 分割表)の $N_1 \times N_2$ 個の変数のセットを $(N_1-1)\times (N_2-1)$ 次元空間に対応付けるような「正単体組み合わせ座標系」を導入する
$N$ 変数の正単体座標系では、変数の数のベクトルを、自由度 $N-1$ 次元の空間に配した
分割表では $N\times M$ 個のベクトルを $(N-1)\times (M-1)$ 次元空間に配することとする
分割表では、すべての行とすべての列との和が固定されている
したがって、個のベクトルを次のようになるように配したい。なお、そのように配することができるかどうか(できるのだが)は、後回しとする
- 任意の行の $N_2$ 個のセルに対応する $N_2$ 個のベクトルは、原点を中心とする単位球に内接する $N_2-1$ 正単体の頂点となること
- 任意の列の $N_1$ 個のセルに対応する $N_1$ 個のベクトルは、原点を中心とする単位球に内接する $N_1-1$ 正単体の頂点となること
このような $N_1 \times N_2$ 個の $(N_1-1)\times (N_2-1)$ 次元ベクトル $v_{i,j}$ があるとき、ある周辺度数( $n_{i,*},n_{*,j}$ )を満足する $N_1 \times N_2$ 分割表 $(x_{i,j});i=1,2,...,N_1,j=1,2,...,N_2;\sum_{j=1}^{N_2} x_{i,j}=n_{i,*},\sum_{i=1}^{N_1} x_{i,j}=n_{*,j}$ を $(N_1-1)\times (N_2-1)$ 次元空間の原点に対応づけるとする
このとき、同じ周辺度数を満足する任意の表はに対応付けられる
- これは $\mathbf{R}^{N_1} \times \mathbf{R}^{N_2}$ の部分空間である $\mathbf{S}^{N_1} \times \mathbf{S}^{N_2}$ の $\mathbf{R}^{N_1-1} \times \mathbf{R}^{N_2-1}$ への１対１対応づけと言える