第５講 シュレーゲル図式と4-多面体

多面集合的複体(polyhedral complex)と多面体的複体(polytopal complex)。多面集合的複体は有限個の多面集合の集まりであるが、そのすべての要素が有界である(多面体である)ときに、多面体的複体という。

多面体や多面体的複体はその分割(subdivision)に興味がある。

多面体的複体の組合せ構造は面ポセット(face poset)によって捉える。

面ポセットが同型である２つの多面体的複体は組合せ同値(combinatorially equivalent)であるという。

交半束(meet-semilattice)

アフィン同型

部分複体

多面体には対応する複体があり、多面体の面束は対応する複体の面ポセット

多面体の境界複体

多面体的分割、三角形分割

正則な多面体分割

より高次の多面体から正則な分割によってより低次の多面体が生じるが、このとき、低次の多面体は射影した像である。正則な分割は区分的線形な凸関数から生じる分割であり、その像が区分的線形となることに注意する

いくつもの低次多面体(射影した像)から得られる情報は多いが(特に、元の多面体が高次であるときはそう）、分割したために見えなくなっている情報が多く残されていることにも注意する

シュレーゲル図式：ある面への写像ではなく、多面体のファセットの向こう側の点、１点から多面体を眺めて、当該ファセット上に描いた「地図」のこと

シュレーゲル図式はd次元多面体の組合せ構造のすべてをd-1次元に表現している

シュレーゲル図式のように見えるもの、と図式との違い

d-図式(2-図式、3-図式…、d-図式)：d次元多面体のシュレーゲル図式は(d-1)-図式