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Chapter 2 Probability Primer (確率とは、ランダム変数とは…)
Chapter 4 Conditional Independence (CI) (CI models、Primary Decomposition)
Chapter 5 Statistics Primer (統計モデル、データの型、パラメタ推定・仮説検定・ベイズ統計)
Chapter 6 指数型(分布)族 (Exponential families、実代数幾何、代数的指数型(分布)族)
- いわゆる指数型分布族表現を離散確率変数に用いる
- 確率モデルは(r-1)-正単体内部に相当するとみることもできるが、指数型分布族にすると、(r-1)-次元実空間全体と見える
- この空間が確率モデルの族であり、その点が特定の確率モデル
- 確率モデルにおける、観測データの尤度は、離散型確率変数の場合、有理多項式になる。分母は確率質量の総和が１であるとの制約を満足するための式に相当する
- 今、この分母の存在を射影幾何的に考えると、分子は斉次座標系のようなものになる
- この分子の式は、変数の（非負）整数乗の掛け合わせになっており、「単項式」。すべての変数を等倍しても、同じモデルを表しているが、その特徴は、単項式イデアル。トーリックイデアルは、単項式の差によって構成されるイデアルのこと
- ここで「単項式のセット」→「トーリックイデアル」
- この取り出しにおいて、「十分統計量が等しくなるような、２つの単項式の引き算に相当する式（単項式の差の式）」がトーリックイデアルを生成するという意味で、「統計」が「トーリックイデアルの代数学」とつながる・・・ここに２ｘ２小行列式が登場したりもする
- トーリックイデアルにグレブナー基底を与えると「よいこと」があり、代数アプリで実装されている
Chapter 7 Likelihood inference (スコア等式の代数的解法、尤度の幾何、凸尤度関数、尤度比検定)
Chapter 8 The Cone of Sufficient Statistics (多面体)
Chapter 9 Fisher's exact test (条件付き推定、マルコフ基底、Graver基底、格子酔歩とPrimary decomposition、サンプリング)
Chapter 10 Bounds on Cell Entries (Integer Programming、グレブナー基底、Quotient Ring、Linear programming relaxation)
Chapter 11 Exponential Random Graph Models
Chapter 12 Design of Experiments (Computations with the Ideal of Points、グレブナー扇)
Chapter 13 Graphical Models (CI Description of Graphical Models)
Chapter 15 Phylogenetic Models (木と分岐)
Chapter 16 Identifiability
Chapter 17 Model Selection and Bayesian Integrals (Bayesian integrals and sngularitiyes、Information criteria)
Chapter 18 MAP Estimation and Parametric Inference (HMM、Normal Fans、Polytope algebra・Polytope propagation)
Chapter 19 Finite Metric Spaces (Metric Space、Cut polytope、トーリック多様体)
の場合がある)。そこに、
の値が、
にのみ依存し、
には依存しないというようなモデル（Markov chain model）を考えると、そのモデルには、
が重要になるが、この（１つ前の変数に条件づいた、条件付確率を、代数式の変数とすれば、確率は多項式になる。したがって、「確率～尤度」の最大化は多項式の最適化と同じ
のような対数関数が活躍する。トロピカル化では、対数化関数が使われるが、それはそういう話。また、量子力学的な状態を「複素・代数的トーラス」がたくさん集まったもの（かけ合わせて作った、複素高次元トーラス）と見たときに、トロピカル化は、それを実高次元空間に移す関数として働く。また、機械学習の文脈では、（制限）ボルツマンマシンは学習を熱力学的に扱う仕組みだが、そこでもトロピカル化が使われるのは、熱力学～量子力学～そのトロピカル化による古典力学化と言う関係から理解することができる。また、トロピカル化によって、実格子とその上の凸包・整数問題化がなされることともつながる。その点でＲＢＭ（制限付きボルツマンマシン）とＭＡＰ推定との両方にトロピカル化が出てくることは、納得がいく・・・Geometry in the tropical limit（参考ペイパー（Restricted Boltzmann Machine)
