多重検定を重層的に繰り返したとき(６)Mantel-Haenszelは自由度=層数のカイ自乗統計量の１次元投影量である

この日の記事の問題点は
『統計量 $P_j=\prod_{i=1}^M p_{ij}$ を考えたこと』
独立事象について、生起確率を掛け合わせることと、P値(生起確率の累積)を掛け合わせることとは別物であるから。

以下の記述は、この点について問題があることに留意しつつ、積分その他については、メモとして使うので、残す。
この留意は以降、『複数の多テストスタディの累積』のシリーズの(６)、2007/10/26まで適用されるべきである。

今、単純のために、２ｘ２分割表検定を２コホートにて行っているものとする。

	A	a	sum
$group_{11}$	$n_{11}$	$n_{12}$	$n_{1.}$
$group_{12}$	$n_{21}$	$n_{22}$	$n_{2.}$
sum	$n_{.1}$	$n_{.2}$	$n$

	A	a	sum
$group_{21}$	$m_{11}$	$m_{12}$	$m_{1.}$
$group_{22}$	$m_{21}$	$m_{22}$	$m_{2.}$
sum	$m_{.1}$	$m_{.2}$	$m$

コホートごとに、カイ自乗統計量が算出できる。今、分割表の期待度数を $E(n_{11})$ のように書き表すとすると、
$\chi^2_1=\frac{(n_{11}-E(n_{11}))^2\times n^3 }{n_{1.}n_{2.}n_{.1}n_{.2}$
$\chi^2_2=\frac{(m_{11}-E(m_{11}))^2\times m^3 }{m_{1.}m_{2.}m_{.1}m_{.2}$
一方、MHの統計量は
$\chi^2_{MH}=\frac{(\frac{(n_{11}n_{22}-n_{12}n_{21})}{n}+\frac{(m_{11}m_{22}-m_{12}m_{21})}{m})^2}{\frac{n_{1.}n_{2.}n_{.1}n_{.2}}{n^2(n-1)}+\frac{m_{1.}m_{2.}m_{.1}m_{.2}}{m^2(m-1)}}$
今、 $d1_{11}=n_{11}-E(n_{11}$ , $d2_{11}=m_{11}-E(m_{11})$ とすると、 $n_{11}=E(n_{11})+d1_{11},n_{12}=E(n_{12})+d1_{11},n_{21}=E(n_{21})-d1_{11},n_{22}=E(n_{22})+d1_{11}$ などと表せることから、 $E(n_{11})E(n_{22})-E(n_{12})E(n_{21})$ に注意すれば
$\chi^2_{MH}==\frac{(d1_{11}+d2_{11})^2}{\frac{n_{1.}n_{2.}n_{.1}n_{.2}}{n^2(n-1)}+\frac{m_{1.}m_{2.}m_{.1}m_{.2}}{m^2(m-1)}}$
と変形できる。
この式からわかるとおり、 $\chi^2_{MH}$ は、 $d1_{11}+d2_{11}$ が同一なテーブルにおいて、同一な値をとる。
今、 $\chi^2_{MH}$ は、補正項による、多少の誤差はあるが、 $\chi^2_{MH} \le \chi^2_1+\chi^2_2$ なる関係にある(掲載図は、ランダムな２ｘ２分割表のペアについての $\chi^2_{MH}$ と $\chi^2_1+\chi^2_2$ とのコプロットである。大小関係が見て取れる)。
また、こちらの図は、縦軸に $d1_{11}$ 、横軸に $d2_{11}$ をとり、 $\chi^2_{MH}$ の値で等高線プロットをしたものである。 $d1_{11}+d2_{11}$ が等しいテーブルには、同一の $\chi^2_{MH}$ 値が対応していることがわかる。このように、２次元の図であるが、１次元への写像としての性質を持つことから、Mantel-Haenszelの統計量は自由度１でｐ値を得ることができる。

同様に $\chi^2_1+\chi^2_2$ をプロットしたのが、こちらの図であり、こちらは、２次元の分布を撮っていることがわかる。

これらの具合を試してみるために雑に作ったエクセルは、こちらとこちら。