2008-04-04

2x3表トレンドカイ自乗統計量とアレル2x2表カイ自乗統計量とinbreeding coefficient f との関係の復習

	AA	Aa	aa	sum
case	a	b	c	g
control	d	e	f	h
total	i	j	k	n

アレルについて作成した2x2分割表

	A	a	sum
case	x	y	2g
control	z	w	2h
total	u	v	2n

ただし、x=2a+b,y=b+2c,z=2d+e,w=2f+e
アディティブモデルのトレンドカイ自乗統計量 $Y^2$ は
$Y^2=\frac{n^2}{gh}\times\frac{(\frac{1}{2}(b-\frac{gj}{n})+(c-\frac{gk}{n}))^2}{\frac{1}{n}(\frac{1}{4}ij+\frac{1}{4}jk+ik)}$
$Y^2=\frac{1}{gh}\times\frac{(\frac{1}{2}(nb-gj)+(nc-gk))^2}{\frac{1}{n}(\frac{1}{4}ij+\frac{1}{4}jk+ik)}$
$Y^2=\frac{n}{gh}\times\frac{(\frac{1}{2}(nb-gj)+(nc-gk))^2}{(\frac{1}{4}ij+\frac{1}{4}jk+ik)}$
[tex:Y^2=\frac{n}{gh}\times\frac{*1^2}{(ij+jk+4ik)}]
$Y^2=\frac{n}{gh}\times\frac{(n(b+2c)-g(j+2k))^2}{(ij+jk+4ik)}$
[tex:Y^2=\frac{n}{gh}\times\frac{(n(b+2c)-g*2^2}{(ij+jk+4ik)}]
一方、2x2分割表からのカイ自乗統計量, $\chi^2$ は
$\chi^2=\frac{2n(xw-yz)^2}{2g2huv}$
$\chi^2=\frac{n}{2}\frac{(xw-yz)^2}{ghuv}$
[tex:\chi^2=\frac{n}{2}\frac{*3^2}{ghuv}]
[tex:\chi^2=\frac{n}{2}\frac{*4(e+2f)-(b+2c)(2h-(e+2f)))^2}{ghuv}]
$\chi^2=\frac{n}{2}\frac{(2g(e+2f)-(b+2c)(e+2f)-(2h(b+2c)-(e+2f)(b+2c)))^2}{ghuv}$
$\chi^2=\frac{n}{2}\frac{(2g(e+2f)-2h(b+2c)-(b+2c)(e+2f)+(e+2f)(b+2c))^2}{ghuv}$
$\chi^2=\frac{n}{2}\frac{(2g(e+2f)-2h(b+2c))^2}{ghuv}$
$\chi^2=\frac{2n}{gh}\frac{(g(e+2f)-h(b+2c))^2}{uv}$

$Y^2$ と $\chi^2$ との比, $R(Y^2/\chi^2)$ をとる
$R(Y^2/\chi^2)=\frac{uv}{2(ij+jk+4ik)}$
$R(Y^2/\chi^2)=\frac{(2i+j)(j+2k)}{2(ij+jk+4ik)}$

今、この比と、fとの関係を考える
fは、集団のＨＷＥからのずれの指標である。今、３ジェノタイプの人数がケースコントロールの合算に対して $i,j,k$ で与えられている。今、２つのアレル頻度が $p_1=\frac{2i+j}{2n}$ , $p_2=\frac{j+2k}{2n}$ で与えられているから、ＨＷＥの仮定のもとでの、ヘテロの期待値は
$H_e=2p_1p_2n$
$H_e=2\frac{2i+j}{2n}\frac{j+2k}{2n}n$
$H_e=\frac{(2i+j)(j+2k)}{2n}$
今、ヘテロは $j$ 観測されているので、
$f=1-\frac{j}{H_e}$
$f=1-\frac{2nj}{(2i+j)(j+2k)}$

ここで、 $\frac{1}{1+f}$ を計算してみよう
$\frac{1}{1+f}=\frac{1}{1+1-\frac{2nj}{(2i+j)(j+2k)}}$
$\frac{1}{1+f}=\frac{1}{2-\frac{2nj}{(2i+j)(j+2k)}}$
$\frac{1}{1+f}=\frac{1}{2\frac{(2i+j)(j+2k)-nj}{(2i+j)(j+2k)}}$
$\frac{1}{1+f}=\frac{1}{2\frac{(2i+j)(j+2k)-(i+j+k)j}{(2i+j)(j+2k)}}$
$\frac{1}{1+f}=\frac{1}{2\frac{2ij+4ik+j^2+2jk-ij-j^2-jk}{(2i+j)(j+2k)}}$
$\frac{1}{1+f}=\frac{1}{2\frac{ij+4ik+jk}{(2i+j)(j+2k)}}$
$\frac{1}{1+f}=\frac{(2i+j)(j+2k)}{2(ij+4ik+jk)}$
$\frac{1}{1+f}=R(Y^2/\chi^2)$
であることが示された。

したがって、
$Y^2=R(Y^2/\chi^2)\times \chi^2$
$Y^2=\frac{1}{1+f}\times \chi^2$
以下のa,b,c,d,e,fは2x3分割表の6個の数値。これを今、仮りに10,20,30,40,50,60としたが、この値を適当に変えても、最終的な"q/r*(1 + f)"の値が1になることは、このテキスト部分をMathematicaに貼り付けることで確かめられる

a = 10
b = 20
c = 30
d = 40
e = 50
f = 60
g = a + b + c

h = d + e + f
i = a + d
j = b + e
k = c + f
n = g + h
x = 2*a + b
y = b + 2*c
z = 2*d + e
w = e + 2*f
s = x + y
t = z + w
u = x + z
v = y + w
p = s + t
q = n*(n*(b + 2*c) - g*(j + 2*k))^2/(g*h*(n*(j + 4*k) - (j + 2*k)^2))
r = p*(x*w - y*z)^2/(s*t*u*v)
F = 1 - j/(2*n*u*v/(p^2))

q/r*(1 + F)

*1:nb-gj)+2(nc-gk

*2:b+2c)+(e+2f)))^2}{(ij+jk+4ik)}] $Y^2=\frac{n}{gh}\times\frac{((g+h)(b+2c)-g((b+2c)+(e+2f)))^2}{(ij+jk+4ik)}$ [tex:Y^2=\frac{n}{gh}\times\frac{(h(b+2c)-g(e+2f

*3:2a+b)(e+2f)-(b+2c)(2d+e

*4:2g-(b+2c