配置 - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

参考サイト
- 球面上の最適配置入門
- 平面的グラフの球面への埋め込みと双対グラフ(dual graph)
- 球面上の最近接距離分布こちらも、こちらも
- Sphere Anchored Map：大規模2 部グラフの3D描画手法
- 有限グラフからの標準的実現と球面デザインについて
- 球面上の代数的組合せ理論
- ドロネーネットワークの性質
- 偏微分
- 球面座標系
- ステラジアン
- 約個の点を球表面に配置してみる
  - 半径１の球の表面積は、 $4\pi$
  - この球面に $N$ 個の点をおおよそ均等に分布させる。
  - 隣接２点の間の角を $\theta$ (ラジアン)とすると、２点間の距離は、 $\theta$
  - 今、１点の占拠領域を半径 $\frac{\theta}{2}$ の円とすると、どの点の占拠領域にも属さない領域ができるが、その分は気にしないくらい大雑把な計算をしたいものとする(この隙間がそもそも気にせずにいられるかどうかについては、検討が必要で、雑すぎて、だめなような気もするけれども)。
  - このとき、１点の占拠面積は、約であるから、がおおよそ成り立つ。
    - $\theta \sim \frac{4}{\sqrt{N}}$
  - 点の配置
    - - 球面上の座標を各座標系を用いて $C1(\psi_a,\psi_b)=C2(cos(\psi_a)cos(\psi_b),cos(\psi_a)sin(\psi_b),sin(\psi_a))$ とする。
    - 赤道上の配置
      - ある赤道上の点を原点とする。原点は、 $C1(0,0)=C2(1,0,0)$
      - 赤道上に、原点から、 $\theta=\frac{4}{\sqrt{N}}$ 刻みに $\frac{2\pi}{\theta}=\frac{\pi}{2}\sqrt{N}$ 個の点を配置する。
        
        $C1(0,k_1 \theta)=C2(cos(k_1 \theta),sin(k_1 \theta),0)$
    - 原点を通る経線上(経度0)の配置
      - 経線上に、原点から、 $\theta$ 刻みに $\frac{\pi}{2}\sqrt{N}$ 個の点を配置する。
        
        $C1(k_2 \theta,0)=C2(cos(k_2 \theta),0,sin(k_2 \theta))$
    - 一般の点の配置
      - 経度0の点 $C1(k_2 \theta,0)=C2(cos(k_2 \theta),0,sin(k_2 \theta))$ から $\frac{\theta}{cos(k_2 \theta)}$ 刻みに、同じ緯度の点を $\frac{2\pi cos(k_2 \theta)}{\theta}$ 個、配置する
        
        $C1(k_2 \theta,k_3 \frac{\theta}{cos(k_2 \theta)})=C2(cos(k_2 \theta)cos(k_3 \frac{\theta}{cos(k_2 \theta)}),cos(k_2 \theta)sin(k_3 \frac{\theta}{cos(k_2 \theta)}),sin(k_2 \theta))$