駆け足で読む 感染症の数理モデル

感染症の数理モデル

• １．基本再生産量　閾値原理、微分方程式モデル
  • 微分の行列が出来て、その固有値分解
  • 臨界
• ２．データからの、推定(１．の諸パラメタ)
  • 感染機構のモデル化した取り扱い
  • 確率モデル
  • 均質な個体の群と、異質な個体のなす群
• ３．常微分方程式
  • 常微分方程式系
  • 自励系
  • 平衡点
  • テイラー展開して、定係数線形常微分方程式にしてしまう
  • ヤコビ行列
  • 固有値の実部の正負の判定条件(Routh-Gurwitzの判定条件)
  • ホップ(Hopf)分岐
  • 多変量微分係数の具合によって、変化方向が一意に決まらないと、分岐する
• ４．タイムラグと周期性、平衡点とその大域的漸近安定性
  • • 局所的な漸近安定性
      • ある範囲の状態にあるとき、状態がその近傍にとどまること
    • 大域な漸近安定性
      • 局所的に漸近安定であり、かつ、無限時間後には、ある状態に収束すること
• ５．空間
  • 拡散
    • ランダムウォーク
    • 拡散方程式
    • 進行波
      • フィッシャー方程式
• ６．確率モデル、ネットワークモデル
  • コンタクトプロセス
    • 格子
    • グラフ
    • スケールフリーネットワーク
    • ランダムグラフ、一般化ランダムグラフ
• ７．実例
  • エイズと性感染症
• ８．パラメータの(周期)変動
  • 季節変動
  • 軌道・アトラクタ
    • 安定周期解
  • ポアンカレマップ
    • 不安定周期解を求める
• ９．進化・共進化によるパラメタ数増大
  • 赤の女王
  • 変化(変異)し続けることで、生き延びる
  • 有性生殖・組換えの有利性
  • HIVの抗原性変化は、系統数を増やし続け、それに対応するホスト側免疫系は、ある点を越えると制御不能となり(ホスト側免疫系の対応が追いつかなくなり)、AIDS発病に至る、という