• 平均0、分散1の正規分布\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}
  • 自由度kのカイ分布(カイ自乗ではなく)は\frac{2^{1-\frac{k}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2})}x^{k-1}e^{-\frac{x^2}{2}}
  • k次元球の表面積はS(x;k)=2\frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})} \pi ^ {\frac{k}{2}} x^{k-1}
  • これらを使うと、自由度kのカイ分布は
    •  (\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^k S(k) e^{-\frac{x^2}{2}}
  • これは、e^{-\frac{x^2}{2}}が表すように、原点から、遠ざかると確率が小さくなる分布であって、その小さくなり方が、正規分布と同じように、x^2が一定量、増えると、\frac{1}{e}になるような小さくなり方であるような分布で、次元がkであるような分布は、k次元球の「表面積」S(x;k)に関する要素を除けば、(\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^k で補正することで、空間全体の積分が1にできることを示しています。
  • 1次元の正規分布のときに(\frac{1}{\sqrt{2\pi}})が同様に補正項であったことを考えれば、それがk次元に展開されたことを思えば、納得がいきます。
  • 実際、多変量正規分布確率密度関数でも、補正の項として、(\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^kが現われるのですが、同じことです。