どこで区切りたいのか(診断基準をデータ処理的に一般化する)

(昨日)は、関節リウマチの多関節炎・対称性関節炎という特徴が、相互にどういう関係にあるかということをとっかかりに、ポアッソン分布を少しいじった
少し進めてみるとともに、一般化することとする
ある個人tは関節リウマチという病的全身状態にある
- 右と左に炎症関節をそれぞれ $n_{t,1},n_{t,2}$ 個持つとする
- 今、「左右」には特に意味がないとする
- このとき $n_{t,1}+n_{t,2}$ が炎症関節総数であって、その値は0であることは少なく(関節外症状先行型で関節炎未顕段階など)、複数の関節が炎症を持つことが多い。その数は当然離散的で、数えられる程度の値であり、多すぎない値が現実的なので、この $n_{t,1}+n_{t,2}$ はポアッソン分布に従って、その平均値は、２、３、４など、その位とみなしてよいのではないだろうか。実際には、「平均値」を統計的に知ることももちろんできる
- 多関節炎かどうかの判断は $n_{t,1}+n_{t,2} \ge 2$ と数式ではあらわされる
- それでは、対称性関節炎はどうなるだろうか。 $min(n_{t,1},n_{t,2}) \ge 1$ となる。
- 対称性関節炎条件は、明らかに、多関節炎条件よりも厳しい条件で、それは、対称性関節炎条件は多関節炎条件に含まれるとも言い換えられる。
これをもう少し一般化しよう
- k個の群がある。リウマチの場合には、右と左の２群だったものとする
- それぞれの群は、0,1,2,...,という離散的な量的値をとるものとする。リウマチの例では、これが、右(もしくは)左の炎症性関節数に相当する。
- このようなとき、個人tの状態は $N_t=\{n_{t,1},n_{t,2},...,n_{t,k}\}$ という長さkのベクトルによってあらわされる
- ここで、●かそうでないかという２分診断をすることを考える
- それは、k次元空間を２つの部分空間に分ける面を定義することである
- リウマチの多関節炎定義や対称性関節炎定義を、このk次元空間に持ち込んで、さらに、閾値についても一般化することとする
- 多関節炎定義の一般化
  - $\sum_{i=1}^k n_{t,i} \ge K$ 、 $K$ は閾値。多関節炎の場合は $K=2$
- 対称性関節炎定義の一般化
  - $\forall\;i n_{t,i} \ge K$ (対称性の場合は $K=1$ )
  - 逆もあって $\exists i \;n_{t,i} \ge K$ は容易に考えられるもの
  - さらに、「すべての」「ひとつでも」をもう少し、量的に扱えば、「k個のうち、 $l$ 個の $i$ にあって、 $n_{t,i} \ge K$ であり残りの $k-l$ 個の $i$ では[tex:n_{t,i}
- そのほかには、適当にどうにでも区切りを考えて入れることができる