自由度がペア数 - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

こちらで、多変数の相関係数行列を扱っている
その延長で三角不等式についてこちらに書いた
今日は、相関係数行列によって、因子のベクトルを書き表すことを考える
- 相関行列の要素のうち、変化させられる要素の数は $\frac{n(n-1)}{2}$ なので、 $n$ 本のベクトル(が $n$ 次元空間に置かれたときの)相対位置は自由度 $\frac{n(n-1)}{2}$ であることもわかる(はず)
$n\times n$ 行列 $M=(m_{ij})$ とし、この行ベクトルが $n$ 本のベクトルの位置座標とする
$m_{ij}=\sin(\theta_{i(i+1-j)})\prod_{t=1}^{i-j} \cos(\theta_{it});j=1,2,...,i$
$m_{ij}=0;j>i$
$\theta_{ii}=\frac{\pi}{2}$
これは、まず、第１ベクトルをと定め、第２ベクトルを、第１軸-第２軸が作る平面上に置くことにして、２つのベクトルのなす角をとなるように置く。次に第３のベクトルには、第３軸の使用を許可し、第１軸-第２軸平面との角をなすように配置し、その上で第３ベクトルの第１軸-第２軸平面への射影と第１軸とのなす角がとなるように置く。次の第４ベクトルは、第４軸の使用を許可し、第１軸-第２軸-第３軸の３次元面との角をなすようにとり、その射影が、第１軸-第２軸平面と…、というように。
- ここで、定数 $\theta_{ii}=\frac{\pi}{2}$ を敢えて用いるのは、式の一般化のため
$n$ 個の単位ベクトルを置きたいところに置いていく、置きながら、正規直交基底を確定していく、というやり方
第１ベクトルの座標を定めるのは「不自由」、第２ベクトルを定めるために１変数、第３ベクトルに２変数、…第 $n$ ベクトルに $n-1$ 変数が必要なので、合わせて $\frac{n(n-1)}{2}$ 変数が必要

n<-10

thetas<-runif(n*(n-1)/2)*2*pi

M<-matrix(0,n,n)
M[lower.tri(M)]<-thetas
diag(M)<-pi/2
logM<-log(M)
X<-matrix(0,n,n)
for(i in 1:n){
	for(j in 1:i){
		X[i,j]<-sin(M[i,i+1-j])
		if(j<i){
			for(t in 1:(i-j)){
				X[i,j]<-X[i,j]*cos(M[i,t])
			}
		}
	}
}

X

image(X%*%t(X))