ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

2011-02-28

二項分布と負の二項分布

２項分布 $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k}$ と
負の二項分布( $k-1$ 回目までには、 $a-1$ 回、起きていて、 $k$ 回目にちょうど $a$ 回目が起きる確率 $=\begin{pmatrix} k-1\\a-1\end{pmatrix} p^a (1-p)^{k-a}=p \begin{pmatrix} k-1\\a-1\end{pmatrix} p^(a-1) (1-p)^{k-a}$ )とを比べてみよう
似通った式をしている
また、それらは $\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k} =1$ であり
$\sum_{k=a}^{\infty} \begin{pmatrix} k-1\\a-1\end{pmatrix} p^a (1-p)^{k-a} =1$ なる関係がある
これは、 $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k}$ を行列に納めたときに、 $y+x=N$ なる斜めに足し合わせても１、 $x=N$ に足し合わせたものを $p$ 倍するとこれも１、ということを示している
二項分布の平面配置には、和が等しい２つの方向があることがわかる

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