正単体座標系 - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

『正単体座標系』は、和が一定であるという制約を持つ $N+1$ 個の変数のセットに対して、 $N$ 次元空間座標を対応付ける系である
以下、説明
正単体
- 正単体とは、２次元空間における正三角形を任意の次元に拡張したものである
  - $N=1$ の場合は線分
  - $N=2$ の場合は正三角形
  - $N=3$ の場合は正四面体
- $N$ 次元空間にある $N$ 正単体は、 $N+1$ 個の頂点を持つ
- 正単体の重心
  - $N+1$ 個の頂点の位置ベクトルを $v_i;i=1,2,...,N+1$ とすれば、その重心は $\frac{1}{N+1}\sum_{i=1}^{N+1} v_i$
- 重心を原点としたときの正単体の頂点の位置ベクトル $v_i'=v_i-\frac{1}{N+1}\sum_{i=1}^{N+1}v_i$ は、長さが等しく、２つの頂点ベクトルが作る角の余弦は $-\frac{1}{N}$ 。その和 $\sum_{i=1}^{N+1} v_i'=0$
正単体座標系
- 原点を重心とする次元単位球に内接する正単体の頂点ベクトルの集合を正単体座標の基底と呼ぶことにし、と表すこととする
  - $|s_i|=1$
  - [tex:=-\frac{1}{N},\text{when} i \not = j]
  - $\sum_{i=1}^{N+1} s_i = 0$
- $N$ 正単体座標系は $N$ 次元空間を張っている
- $N$ 次元空間上の点は、 $N+1$ 個の値のセット $(x_i);i=1,2,...,N+1,\sum_{i=1}^{N+1} x_i =0$ に一意に対応する
- このような $S_N$ による位置表現を $N$ 正単体座標系と呼ぶことにする
正単体座標系の利用
- 今、 $N$ 正単体座標系の原点に、 $(a_i);\sum_{i=1}^{N+1} a_i =A\ge 0$ なる $N+1$ 個の値のセットを対応づけることとする
- このとき、を満足する値の組をなる次元空間の点に１対１対応で対応づけることができる
  - なお、 $(b_i-a_i)$ は $(b_i)\not = (c_i)$ ならば $(b_i-a_i)\not = (c_i-a_i)$ であり、逆も真
  - また、 $\sum_{i=1}^{N+1} (b_i-a_i)=\sum_{i=1}^{N+1}b_i - \sum_{i=1}^{N+1} a_i = A-A=0$ である
- この $N$ 正単体座標系は、 $\mathbf{R}^{N+1}$ の部分空間 $\mathbf{S}^{N+1} = \{b |\sum_{i=1}^{N+1} b_i =A \}$ の $\mathbf{R}^{N}$ への１対１対応づけであるとも言い換えられる
正単体座標系のノルム
- 上記の正単体座標系の規定は $N$ 次元単位球に内接する正単体を用いて定めた
- もうひとつの決め方は $N+1$ 次元の正単体を中心に決める決め方である
- $N+1$ 次元において、変量の和がゼロになるような値の組は $(1,-\frac{1}{N},-\frac{1}{N},...,-\frac{1}{N}$ のように、１つの軸で１、残りの $N$ 個の軸で $-\frac{1}{N}$ のような $N+1$ 個の点を通るから、この $N+1$ 個の点が、 $N$ 次元の単位球に内接する正単体の頂点に対応付けられるように、 $N+1$ 個のベクトルを決めることもよい決め方である
$s_i'=\frac{N}{N+1}s_i$ を用いて $\sum_{i=1}^{N+1}(b_i-a_i)s_i'$ という対応付けがそれにあたる