駆け足で読む『群と表現』可換群・巡回群・生成元

• 1. 群
• 群の任意の元の順序を交換できるような群が可換群
• すべての元が、ある元の操作の繰り返しであるような群が巡回群
• すべての元が、そのうちのいくつかの元の積であらわされるとき、その「種」となる元を生成元と呼ぶ
• はエチレン(Wiki)
  • ２つの炭素の間の結合を軸として回転させると、180度の回転で、エチレンは重ね合せることができる
  • ２つの炭素の間の結合の中点を通り、炭素間結合に垂直な面について、鏡映操作も、同様に重ね合せることができる(鏡映も１８０度回転とみてもよい)
  • エチレンは平面上にあるとみなせるが、その平面に置いたままで、平面に垂直な軸で１８０度回転させる操作は、上の２種類の操作を各１回ずつ行う操作に相当する
  • ２種類の「１８０度回転(２連続回転で元に戻るような回転)」があって、それが生成元になっている
  • 結合軸を軸とする回転をなるとし、鏡映をとして、この群をと書くことがある
  • 生成元はであり、とすると、は生成元ではなく、単位元でもない唯一の元になっていて、の４つの元でできている群である
  • これはKlein four group(Wiki)と呼ばれるもので、非巡回群である。
  • 生成元が２個あり、それはともに、位数２の巡回群であるから、位数２の巡回群をと書くときと表す
  • これが、「ベッドルームの群論」に戻る