駆け足で読む『群と表現』寄り道　鏡映群 - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

順序のないnカテゴリは、n-1次元空間の正単体(n個の頂点を持つ)に対応付けることができる
順序のないnカテゴリと順序のないmカテゴリに関する検定統計量はnカテゴリの正単体を置いた空間に、mカテゴリの正単体を置けるように空間を拡大したような格好をしている
n頂点正単体のどこからでもm頂点正単体を配置した空間に入り込めるが、その様子は、「n頂点正単体の世界」と「m頂点正単体の世界」とが「次元の違う」関係にあって、「次元が違う」けれども、次元の越え方は、「広く開かれている(どこからでも越えられる、特別なトンネルのようなものあるわけではない)」、そんな世界。
この「次元の違うものの連結の仕方」は、群で言うところの、部分群での剰余類分解に相通じるものがある
部分群での剰余類分解になぞらえたとき、部分群は、正単体が作っているというように相通じる
したがって、「正単体」自体が部分群を成せば、「アナロジー」としてそのようにみなせるだけでなく、「実際にそう」であることがわか
さて。
「正単体」を群とするものは、なんだろう
鏡映群(Wiki)が、分類された中に、正単体群、超立方体群、正胞体群など、「対称な高次元図形」に関する群がある→こちら
コクセター群としてくくられる群である
- コクセター群のWikiはこちら(日本語版だと、「鏡映」の意味合いが後付けのように書いてあるけれど、(おそらく)、鏡映から始めて、コクセター生成系とかに抽象化する方が、説明としてはよいのでは・・・。英語版Wikiがそうなっているように)
カテゴリカルデータを２軸で突き合わせる統計処理は、線形代数処理をすることになる(ことが多い)が、それは、カテゴリカルデータが、正単体群を部分群とする群であることと、線形代数が正単体群という特定のルート系の理論である(こちらの記事)、ということと関係するのだろう
ちなみにユークリッド幾何は、超立方体群という特定のルート系の理論