５　仮説の遠近 - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

もう少し進めよう
前の記事では、仮説を階層化して、群に分け、群内で、候補を落とすときには、群内の「仲間内の候補」で残留する候補に「ありやすさ」を引き継ぎ、群を越えたら「ありやすさ」を引き継がない、というやり口だった
「あり」か「なし」かの2者択一
この区別を質的なものから量的なものに切り替える
「限りなく近いもの〜仲間内の候補」と「限りなく遠いもの〜群の異なる候補」の区別は「近い・遠い」の区別なので、これに量を持ち込む〜距離を持ち込む
すべての候補の間にペアワイズに距離が定まっているとする
仮説iと仮説jとの間の距離は $d_{i,j} = d_{j,i}$ であって
仮説iが何らかの理由で候補から脱落するとする
脱落前の候補が持つ「得点」が $p_i$ だったとすると、この $p_i$ をそれ以外の候補に割り振る必要が出る
その割り振り割合を決める要因のうち、仮説iとの距離を変数とする部分を定める関数を $f(d)$ とすれば
その部分の仮説jのそれは $f(d_{i,j}) p_i$ になる
ここで少し考えよう。仮説jと仮説kとが仮説iから等距離にあるとき( $d_{i,j} = d_{i,k}$ )、割り振りは $f(d_{i,j}) p_i, f(d_{i,k})_i = f(d_{i,j}) p_i$ のように同じだけを割り振ってよいのだろうか？
仮説iから等距離にあるのであれば、割り振られ方は仮説j,kのそれぞれの「現在の持ち分」に応じて分配するのが筋なのではないだろうか
とすると $f(d_{i,j}) p_j p_i, f(d_{i,k}) p_k p_i$ の割り振りとなる
このようにすると、すべての仮説間の距離が等しいときは候補iが脱落しても、残りの候補の持ち分の比率は変化しない
このことも、この割り振りが妥当であると感じさせる大きな理由の一つだろう
ではここでの $f$ はどんな関数だろう。 $f(d) = e^{-\frac{d^2}{2}$ のようにガウシアン型カーネルのような分布が素直なのでは
さらにすると・・・
今はある候補iが完全にレースから脱落する場合であったが、 $p_i -> p_i - \delta$ となるのがよい、という情報が得られたときに、この差 $\delta$ を分配するのも上記と同じやり方はどうだろうか？
悪くないんじゃないかな、と思う