2012-12-30

Part I(基礎)３代数学ぱらぱらめくる『Algebraic statistics for computational biology』

ぱらぱらめくるシリーズ代数統計 Algebraic statistics 数理生物学

目次はこちら
代数統計学では『統計モデルは代数多様体』とする
- 代数多様体(algebraic varieties)とはこちらにあるように
  - "多変数の連立多項式系の解集合として定義される図形"
    - 例：Hardy-Weinberg Equilibriumが作る３角形内の曲線
  - 表現方法２つ
    - (連立)方程式表示：条件付き独立としての表現
    - 媒介変数表示：図形表現…代数幾何
- 代数幾何では、実数・有理数で扱うものであっても、複素数に一般化して扱うのが通例であって、それが尤度関数・最尤推定にも用いられるのは、(従来の)統計学的アプローチには目新しく映る
- 代数幾何では、トロピカル半環上での扱いが有効
3.1 多様体とグレブナー基底
- 連立方程式表示では複数の多項式が登場するが、それを多項式環として扱う
- 多項式を表記のために、順序のルールがある(辞書式順序、とか)
- 複素数で取り扱うのを原則とするのは、１変数m次多項式の解が複素数で扱えばm個あることが「単純」だから
- その上で実数に限定したり、変数セットを単体内に限局したりする場合には、多次元複素数空間の部分空間を取り扱うものとすることで対応する
- 例えば $p1^4+p2^4-p3^4=0,p1^4+p2^4+p3^4-2p1p2p3=0$ を満足する代数多様体で、 $p1+p2+p3=1$ を満足するような単体に限局した解集合を求めるときには、Singularのコマンドとして

ring R=0,(p1,p2,p3),lp;
ideal I = (p1^4+p2^4-p3^4,p1^4+p2^4+p3^4-2*p1*p2*p3,p1+p2+p3-1);
ideal G = groebner(I);
G;
LIB "solve.lib";
solve(G,10);

- として出すと、16通りの解が出て、そのうち2つが実数解であることがわかる
  - solve(G,10)の10は有効桁数…たぶん
- Groebner基底を求めるアルゴリズムBuchbergerアルゴリズムではinitial Idealというものを持ち出す。これは式の表現を決める順序(辞書式順序とか)に依存して決まる。また、式の個々の項を生成するようなイデアルへの分解などを通じて行うもの(?)
3.2 Implicitization(陰函数化)
- d個の変数からm個の変数へのマップがd個の変数の多項式であるとき、そのマップ自体は代数多様体ではないけれど：
  - 複数の代数多様体をブール演算で表せる
  - また、マップの閉包は(１つの)代数多様体となる
- そのような例として、からへのマップを考えると、はという面のうち、の部分に関してだけ、に限定しているような面になる(2次元平面が、1本の直線で隔てられていて、でも、そこには１点のつながりが残っている)
  - この閉包は $p_2=p_3$ という平面である(代数多様体)
  - 複素数では上記のようになるが、 $\theta_i$ を実数にすれば、 $p_1 \ge 0$ とか(余分な)制約が入って、取れない点がたくさん生じて、Rでやれば以下のようになる

x <- seq(from=-2,to=2,by=0.01)
xy <- expand.grid(x,x)
X <- xy[,1]^2
Y <- Z <- xy[,1]*xy[,2]
library(rgl)
plot3d(X,Y,Z)

- マップには、d個の変数とm個の変数とが両方出てくるが、これをm個の変数だけで表すことが陰関数化
- その作業はマップについて、m個の変数だけでできたイデアルを探すこと
- 隠れマルコフモデルでは、表の変数セットと裏の変数セットがあって、マップがあるけれど、隠れている方はどうせ見えないから見えている方だけで考えられたらいいことがあるかもしれない→見えている変数のみのイデアルにするといいことがある
- それぞれの変数セットで環を作り、２つの環を結ぶマップ関数を指定し、片方の環とマップ関数とイデアルとを引数にpreimage()関数に渡すとできるようだ。ちなみに"preimage"は原像(こちら)
- SNPのHWEや連鎖平衡を代数統計する→こちら
3.3 最尤法
- d個の変数があって、m個の変数とマップ関数(f)で関係づいている
- m個の変数は観測データとともに尤度関数を作る
- 尤度関数の微分が0という制約はm個の変数が作る(連立)方程式になっている
- 最尤推定d個の変数についての推定で、それは尤度関数の微分が0という方程式の解であるd個の変数の値の組
- likelihood variety of model f と称する
- 対数尤度関数では $\log(L) = \sum u_i \log(p_i)$ という形になって
- $p_i = f_i(\theta_1,\theta_2,...)$ となっているとき
- $\frac{\partial \log(L)}{\partial \theta_j}=\sum u_i \frac{1}{p_i} \frac{\partial f_i(\theta_1,\theta_2,...)}{\partial \theta_j}$ となって $\frac{1}{p_i}$ が表れる
- そのため $z_i=\frac{1}{f_i}$ なる変数を登場させる
- それをイデアルに反映すると $f_i z_i =1$ を反映させるわけで、 $f_i z_i-1$ という式が出てくる
3.4 Tropical geometry
- 代数多様体はトロピカル化できるので、統計モデルを代数多様体で表すと言うことは、統計モデルはトロピカル化できるということ
- トロピカル多項式は非負整数を係数とする線形凸関数になる(のが、扱いやすく単純)
3.5 生命の木とtropical variety(代数学的多様体)
- 距離行列に基礎を置く、系統樹やネットワークは代数幾何表現できる