ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

2013-08-12

正規分布を例に取る〜指数型分布族

指数型分布族フィッシャー情報量情報幾何キュムラント母関数計量接続スコア関数尤度関数最尤推定

実例で確認する
- 変数・式を正規分布について確認する(このページの表の"normal distribution"...(known varianceではない方)を参照
- 確率変数は１変数 $\mathbf{x}= (x)$
- 『パラメタ』での関数表現(見慣れた式)
  - $f(\mathbf{x}=(x)|\mathbf{\lambda}=(\lambda_1=\mu,\lambda_2=\sigma))$
  - $=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
- パラメタと自然パラメタの関係
  - $\begin{pmatrix}\eta_1\\ \eta_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\mu}{\sigma^2}\\ -\frac{1}{2\sigma^2} \end{pmatrix}$
- 逆の関係
  - $\begin{pmatrix}\mu\\ \sigma\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\eta_1}{2\eta_2}\\ -\frac{1}{2\eta_2} \end{pmatrix}$
- - なんと $x$ すら入っていないただの『値』
- - xに関するシンプルな式が２つ
- と
  - $A(\mathbf{\theta})=-\frac{\eta_1^2}{4\eta_2} -\frac{1}{2}\ln{(-2\eta_2)}$
  - $A(\mathbf{\lambda})=\frac{\mu^2}{2\sigma^2} + \ln{\sigma}$

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