Chapter 1 ウェーブレット、ウェーブレットフィルタ、ウェーブレット変換の導入 ぱらぱらめくる『Conceptual Wavelets in Digital Signal Procesing』

  • ウェーブレットは基本的には、限られた時間にだけ見られる波形
  • ウェーブレットフィルタはウェーブレット波形上の等時間間隔離散点点集合
  • 変換は、わかりやすい別の捉え方に切り替えること
  • 音楽になぞらえる。時間間隔・周波数
  • 与えられた波形とウェーブレットを比較するときは、ウェーブレットの位置を定めることと、ウェーブレットの横軸を伸び縮みさせることの2つがあるので、変形が2パラメタで定められる
  • 当てはまりの良さは2次元平面上の関数として得られることになる
  • フーリエ変換では検出できない情報のなかには、ウェーブレット変換では強いシグナルで検出できるものがある
  • 連続ウェーブレット・離散ウェーブレットというとき、「連続」とは、shift,stretchをするときに2,3,4と「連続な整数」を係数として用いる、という意味で、「離散」とはべき乗する(dyadic(二進法的) dilatation)ことで、整数的には「とびとび」の値を係数として用いるという意味
  • また、連続ウェーブレット変換では1つのフィルタを用いるが、離散の方は複数のフィルタを用いる
  • 離散ウェーブレット変換には2つのやり方がある(有名である)
    • Conventional DWT
    • Undecimated DWT
  • Undecimated DWTでは、おおよそ(Approximation)と細部(Details)に分けて処理する(Frequency バンドに分ける)
    • おおよそと細部とのそれぞれに2つのフィルタを用いる
    • おおよそと細部に2分するのが、基本形で、それをさらに階層的に組み合わせることもできる
  • 観察シグナルの間に0を押し込んで処理することがあるがそれをUpsamplingと言う
  • バンドに分けるときに、「倍倍」にしたりするが、そこが「離散〜dyadic」
  • Conventional DWTでは、ウェーブレットをdyadicに伸ばす代わりに、データをdyadicに(〜離散で)縮める。「データ点を落とす〜Downsamplingする」
  • 同じ値が含まれているとDownsamplingしたときに、変動がないことになってしまう。これは困った現象だが、これをAliasingという
  • このAliasingにも負けないウェーブレットフィルタセット(の選び方)がある
    • PRQMFs: Perfect Reconstruction Quadrature Mirror Filters
  • Modern JPEGはConventional DWTを使っている