センター試験と二次試験の間

週末にセンター試験があり、二次試験への出願を考える季節です。2段階方式の総合点での合否判定を絵で描いてみます。
第１段階の情報が得られた時点での、事後確率の計算です。
少しずつ情報を仕入れて、それに基づいて、先を予測するのは、医療現場での頭の使い方です。
さて。絵を描くのに考慮するべきは、(1)定員(2)倍率(3)第１・第２の得点分布(正規分布にしました)(4)第１・第２の得点の相関(5)傾斜配点など、第１と第２からの総合点の出し方、でしょう。
それらを総合的に考えつつ、今の時点では、『第１段階』の点は、わかる。『第１段階』の受験予定者の得点分布ももしかしたらわかる(受験産業からの情報)。
その上で、自分が『第２段階でどれくらいの点をとった上で、どれくらいの確率で合格するか』を想定したいです。

# 定員
N <- 1000
# 倍率
r <- 4

# 第一段階試験の平均とSD
M1 <- 700
SD1 <- 10

# 第二段階試験の平均とSD
M2 <- 500
SD2 <- 10

# 第一・第二段階試験の点数には相関がある
# その相関をkで指定して、N*r人の第１・第２段階試験の点数(標準正規分布相当)を乱数発生
k <- 0.5
sigma <- matrix(c(1,k,k,1),2,2)
Y <- rmvnorm(n=N*r, mean=c(0,0), sigma=sigma, method="chol")
# 第１・第２段階の相関を確認
cor(Y)
# プロットもする
plot(Y)

# 実際の試験の点にするために平均と分散とで調整
Z <- Y
Z[,1] <- Z[,1] * SD1 + M1
Z[,2] <- Z[,2] * SD2 + M2
# 確認
apply(Z,2,mean)
apply(Z,2,sd)
cor(Z)

# 第１と第２の点数比率
PQ <- c(2,1)
# 比率考慮の点数
W <- cbind(Z[,1]*PQ[1],Z[,2]*PQ[2])
# プロットしておく
plot(W)
# 総合点
A <- apply(W,1,sum)
# 合格判定
passed <- order(A,decreasing=TRUE)[1:N]

col <- rep(1,N*r)
col[passed] <- 2
# 合格者と不合格者を色分けしてプロット
# 横軸が第一段階、縦軸が第二段階
plot(Z,col=col,pch=16,xlab="第１段階得点",ylab="第２段階得点",main="合否境界")
# 合否ラインの傾きは、PQ 第１・第２の点数比率が決める


# 合否別に第１・第２の点数分布を描く
# 合格者の第１の点数分布
P.1 <- Z[passed,1]
# 合格者の第２の点数分布
P.2 <- Z[passed,2]
# 不合格者の第１の点数分布
F.1 <- Z[-passed,1]
# 符号学者の第２の点数分布
F.2 <- Z[-passed,2]

h <- hist(Z[,1])

h2 <- hist(Z[,2])
par(mfcol=c(1,2))
hist(F.1, col = "#0000ff40", border = "#0000ff", breaks=h$breaks,main="第１")

hist(P.1, col = "#ff00ff40", border = "#ff00ff", breaks =h$breaks, add = TRUE)


hist(F.2, col = "#0000ff40", border = "#0000ff", breaks=h2$breaks,main="第２")

hist(P.2, col = "#ff00ff40", border = "#ff00ff", breaks =h2$breaks, add = TRUE)
par(mfcol=c(1,1))