3 Quaternion Fourier Transforms ぱらぱらめくる『Quaternion Fourier Transforms for Signal and Image Processing』

• 普通のフーリエ変換では、と表せて、純虚数が用いられる
• 四元数フーリエ変換ではの代わりに、単位純虚四元数が用いられる。純虚四元数はいろいろなものが取れてしまうわけであるので、一意には決まらない
• 今、ある四元数関数をsimplex/perplex分解()すれば、両成分は相互に直交なので、別々に分解処理(普通の複素数フーリエ変換)できる
• 普通のフーリエ変換との違いは、積がnon-commutativeであること。だからととは違うことから、それに付随する諸定義の変更が発生する。また、普通のフーリエ変換と逆変換のときは、符号について(たとえ間違っていても相殺されることが多いので)いい加減に扱っても問題が生じないが、四元数フーリエでは影響が生じる(ことが多くなる)ので要注意
• 特に、畳み込み、関数相関の計算には要注意
• 対称性のこと
  • 普通のフーリエ変換で、cos,sinとに分けるというのは、原点を中心に正負で対称か反対称かということに相当する
  • 四元数フーリエ変換の場合は、虚・実での対称・反対称、時間の正負での対称・反対称を考慮することになる
• 二次元の対称性、対称ｘ対称、対称ｘ反対称、反対称ｘ対称、反対称ｘ反対称の４パターンに分解される
• 四元数の指数関数にもnon-commutativeの影響から、という関係があり、のそれぞれを区別する、というバリエーションが生じ、さらにによってと言うサンドイッチバリエーションなども生じて、ごちゃごちゃしてくるけれど、そのごちゃごちゃが、解析上の強み(になるので我慢)