- こちらに確率密度分布で世の中を考える方法としての量子力学、という意味合いで、量子力学の基礎事項をメモした
- その少し具体化したメモ
- 調和振動子というのがある。ばねにつながれたおもりが、行ったり来たりするやつが古典力学版
- 運動エネルギーと、ばねの伸び縮み具合に応じた位置エネルギーとの和が全エネルギー
- 理想的なばね運動では、エネルギーが保存される(時間に依存しない)
- そんな系はハミルトニアンを使って、時間非依存の波動関数で表現できる
- そこにエルミート多項式とかが出てくるわけだけれど、それは、±無限遠で0に収束しつつ、中央付近で振動するような関数を作る部品
- 一番単純なのは、「正規分布」
- 正規分布は、「中心」と「分散」が決まったら、その条件のもとで「エントロピーが最大」な関数なので、いかにも以下にあるように、不確定性原理が与えられた下で、想定するべき「事前確率」らしい
- で、この調和振動子の波動関数というのが、エルミート多項式を使った関数になっていて、一番エネルギー準位が低いときが正規分布で、エネルギーが増えると(量子だからとびとびに増えるのだが)、だんだん、振動回数が増えていきながら、プラスマイナスのある程度偏ったところに「存在確率」が大きいという形で広がっていく、とそんな様子になっている
- 古典力学のおもりの動きは、とてもエネルギーが大きくて、±の端っこに高確率で存在する状態に相当するのだという(中間付近は、高速に移動するので、「居ることは居る」けれどのその確率は低い)
- さて、エネルギー状態が一番小さいときに「正規分布」になっているのだという。原点に確率１で居るのではなく
- この正規分布である、という定まらなさ加減が「不確定性」
- 参考はこの調和振動子wikiとか、エルミート多項式(wiki)とか
- エルミート多項式とかのやっつけRソースは以下
my.Herm <- function(x,n){
if (n %% 2 ==0){
k <- n/2
}else{
k <- (n-1)/2
}
m <- 0:k
ret <- rep(0,length(x))
for(i in 1:length(m)){
ret <- ret + ((-1)^m[i] * (2*x)^(n-2*m[i]))/(factorial(m[i])*factorial(n-2*m[i]))
}
ret*factorial(n)
}
n <- 100
x <- seq(from=-10,to=10,length=1001)
tmp <- my.Herm(x,n)
plot(x,tmp)
my.chowasindou <- function(x,n,mwh=1){
herm <- my.Herm(x*sqrt(mwh),n)
sqrt(1/(2^n*factorial(n))) * (mwh/pi)^(1/4) * exp(-mwh/2*x^2) * herm
}
tmp2 <- my.chowasindou(x,n)
plot(x,tmp2)
- ちなみに、１次元無限空間で、無限遠０拘束を入れるためにエルミート多項式が出たけれど、球面調和関数のことを考えるときに使ったのは、ルジャンドル多項式。こちらも、ある境界制約を入れることで、整数に対応する離散的な関数(球面調和関数)が出てきた。それは、水素の電子雲に関する波動関数なのでした
