特性関数

• 確率密度分布があったときに、特性関数というものがある
• 分布を一意に確定するものとして密度分布があるが、それの双対になっている特性関数も分布を一意に決めるよ、という話
• 確率変数 X があったときに、を特性関数と言うよ、とのこと
• このはのこと
• これはなる分布を持つ変数があったときに、なる(複素数値の)確率変数を考える。ただし、この複素数値確率変数はtの関数になっているので、色々な確率変数を表しているよ、と
• いま、tが色々な値を取り、Xもi色々なwなる値を取るので、tとwに関して色々な「確率密度のような値」を持った(少なくとも２次元の台を持つ)関数が出来たが
• それをwについては重み付き積分をしてやったものがである、という。
• そして、ありがたいことに、は関数になっていて、関数っていうのはたくさんの情報を持ち得ることから

複雑な分布の情報を完璧にもてる、とそういう話

• ちなみに、と純虚数を指数にした指数関数の値はというぐるぐる周期関数なので、
• 結局、「分布」を、「周期関数の１周のそれぞれの角度のところに値を持たせる(ただし角度は無限に細かく取れる)ことで、無限に複雑な情報を複素平面上の単位円周の上の関数に対応付ける」というのが特性関数