特性関数

• 確率変数Xがあるという。たとえば正規分布に従う変数。
• 確率密度関数が書けたりする
• 今、Xと関係する別の確率変数Yを考える
• ただし、Yは
  • 複素数である
  • 実数変数tによって変わるものとする
• 実際と定める
• この複素確率変数には「平均〜期待値」がある
• この期待値はtによって決まる
• 期待値は複素数である
• このtによって決まる複素関数をXの特性関数と言う
• の特性関数はとなっているという
• Rでやってみる(グラフをきれいに描くために少し重い)

my.charFx <- function(x,t){
	y <- rep(0,length(t))
	for(i in 1:length(y)){
		y[i] <- sum(exp(1i * t[i] * x))/length(x)
	}
	return(y)
}

mu <- 3
s <- 2
x <- rnorm(1000000,mu,s)

library(rgl)

t <- seq(from=-3,to=3,length=1001)
y <- my.charFx(x,t)

plot3d(t,Re(y),Im(y))

y2 <- exp(1i * t * mu - s^2*t^2/2)

plot(Re(y),Re(y2))